Em um sistema cartesiano a posição de duas cargas positivas e , estão definidas pelos raio-vetores e e a posição de uma terceira carga, para que o sistema fique em equilíbrio, é dado por:
)

Passo 1

O enunciado diz que temos duas cargas positivas ,q1 em vec r1 e ,q2 em vec r2, e queremos uma terceira carga ,q3 em vec r3 de modo que todas as forças do sistema Coulombiano se cancelem (equilíbrio estático). Para isso vamos usar a lei de Coulomb
vec Fij=kqi,qj|vec ri-vec rj|^3(vec ri-vec rj)
e impor sum vec F=0 em cada carga.

Passo 2

Primeiro exigimos equilíbrio sobre q3:
vec F13+vec F23=0. Como todas as cargas estão colineares, basta igualar as magnitudes:
kq1|q3|d13^2 = kq2|q3|d23^2 Longrightarrow q1d13^2=q2d23^2
Dessa igualdade tiramos a razão dos módulos das distâncias:
d13:d23=raizq1:raizq2

Passo 3

Como vec r3 deve ficar no segmento que une vec r1 a vec r2 dividindo-o na razão acima, vale a fórmula da divisão interna de um segmento:
vec r3 =vec r1,d23+vec r2,d13d13+d23 =vec r1,raizq2+vec r2,raizq1 raizq1+raizq2

Passo 4

Para achar o valor de q3 exigimos equilíbrio sobre q1:
vec F12+vec F13=0 em módulo
kq1q2d12^2 = kq1|q3|d13^2 Longrightarrow |q3|=q2,d13^2d12^2
Como d13/d12=dfracraizq1raizq1+raizq2, segue
|q3| =q2, q1l(raizq1+raizq2r)^2 =q1q2l(raizq1+raizq2r)^2
Para que q3 atraia simultaneamente q1 e q2 (já que ambas são positivas), temos q3<0.

Resposta

q3 =-q1q2 l(raizq1+raizq2r)^2, vec r3 =vec r1,raizq2+vec r2,raizq1 raizq1+raizq2

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