Obtenha a P.G. cujos elementos verificam as relações:
\mathrm{a}_{2}+\mathrm{a}_{4}+\mathrm{a}_{6}=10
a_{3}+a_{5}+a_{7}=30

Passo 1

O enunciado fornece duas relações entre termos de uma sequência e pede que se obtenha a P.G. cujos elementos satisfazem essas relações. Informações dadas:
  • \mathrm{a}_{2}+\mathrm{a}_{4}+\mathrm{a}_{6}=10.
  • \mathrm{a}_{3}+\mathrm{a}_{5}+\mathrm{a}_{7}=30.
O que se pede:
  • Determinar a P.G., ou seja, encontrar o primeiro termo \mathrm{a}_1 e a razão r (ou uma expressão geral para \mathrm{a}_n) que satisfaçam as duas igualdades acima.

Passo 2

Modelo da P.G. e significado das letras (mini-aula): numa progressão geométrica, cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão fixa r. Se \mathrm{a}_1 é o primeiro termo, então o n-ésimo termo é dado por
\mathrm{a}_n = \mathrm{a}_1\,r^{\,n-1},
onde \mathrm{a}_1 é o primeiro termo (uma constante a determinar) e r é a razão (outra constante a determinar). Aqui vou usar a para representar \mathrm{a}_1, isto é a=\mathrm{a}_1. Então:
\mathrm{a}_2 = a r,\qquad \mathrm{a}_3 = a r^{2},\qquad \mathrm{a}_4 = a r^{3},\qquad \mathrm{a}_5 = a r^{4},\qquad \mathrm{a}_6 = a r^{5},\qquad \mathrm{a}_7 = a r^{6}.

Passo 3

Escrever as somas dadas em termos de a e r. Substituindo os termos acima em cada relação:
\mathrm{a}_{2}+\mathrm{a}_{4}+\mathrm{a}_{6}=a r + a r^{3} + a r^{5} = a r\bigl(1 + r^{2} + r^{4}\bigr)=10,
\mathrm{a}_{3}+\mathrm{a}_{5}+\mathrm{a}_{7}=a r^{2} + a r^{4} + a r^{6} = a r^{2}\bigl(1 + r^{2} + r^{4}\bigr)=30.
Expliquei: foi feito fator comum em cada soma (observe que 1+r^{2}+r^{4} aparece em ambas).

Passo 4

Determinar r dividindo a segunda equação pela primeira. Como 1+r^{2}+r^{4}>0 para todo r real (soma de termos não-negativos, estritamente positiva), e assumindo a r\neq0, podemos dividir membro a membro:
\frac{a r^{2}\bigl(1+r^{2}+r^{4}\bigr)}{a r\bigl(1+r^{2}+r^{4}\bigr)}=\frac{30}{10}.
No lado esquerdo o a e 1+r^{2}+r^{4} se cancelam, sobrando r. No lado direito temos 3. Logo
r = 3.

Passo 5

Determinar a substituindo r=3 em uma das equações. Use a primeira:
a r\bigl(1+r^{2}+r^{4}\bigr)=10.
Calcular 1+r^{2}+r^{4} com r=3:
1 + 3^{2} + 3^{4} = 1 + 9 + 81 = 91.
Então
a\cdot 3 \cdot 91 = 10 \quad\Rightarrow\quad a\cdot 273 = 10.
Portanto
a = \frac{10}{273}.

Passo 6

Escrever a expressão geral da P.G. e listar alguns termos para conferir (mini-checagem): a P.G. obtida tem primeiro termo a=\dfrac{10}{273} e razão r=3. Assim o termo geral é
\mathrm{a}_n = \frac{10}{273}\,3^{\,n-1}.
Os primeiros termos são:
\mathrm{a}_1=\frac{10}{273},\quad \mathrm{a}_2=\frac{10}{91},\quad \mathrm{a}_3=\frac{30}{91},\quad \mathrm{a}_4=\frac{90}{91},\quad \mathrm{a}_5=\frac{270}{91},\quad \mathrm{a}_6=\frac{810}{91},\quad \mathrm{a}_7=\frac{2430}{91}.
Verificação rápida:
\mathrm{a}_2+\mathrm{a}_4+\mathrm{a}_6=\frac{10}{91}+\frac{90}{91}+\frac{810}{91}=\frac{910}{91}=10,
\mathrm{a}_3+\mathrm{a}_5+\mathrm{a}_7=\frac{30}{91}+\frac{270}{91}+\frac{2430}{91}=\frac{2730}{91}=30.
Tudo confere.

Resposta

\mathrm{a}_1=\dfrac{10}{273}
r=3
\mathrm{a}_n=\dfrac{10}{273}\,3^{\,n-1}

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