Obtenha a P.G. cujos elementos verificam as relações:
Passo 1
O enunciado fornece duas relações entre termos de uma sequência e pede que se obtenha a P.G. cujos elementos satisfazem essas relações. Informações dadas:
-
. -
.
O que se pede:
- Determinar a P.G., ou seja, encontrar o primeiro termo
e a razão (ou uma expressão geral para ) que satisfaçam as duas igualdades acima.
Passo 2
Modelo da P.G. e significado das letras (mini-aula): numa progressão geométrica, cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão fixa
. Se
é o primeiro termo, então o
-ésimo termo é dado por
onde
é o primeiro termo (uma constante a determinar) e
é a razão (outra constante a determinar). Aqui vou usar
para representar
, isto é
. Então:
Passo 3
Escrever as somas dadas em termos de
e
. Substituindo os termos acima em cada relação:
Expliquei: foi feito fator comum em cada soma (observe que
aparece em ambas).
Passo 4
Determinar
dividindo a segunda equação pela primeira. Como
para todo
real (soma de termos não-negativos, estritamente positiva), e assumindo
, podemos dividir membro a membro:
No lado esquerdo o
e
se cancelam, sobrando
. No lado direito temos
. Logo
Passo 5
Determinar
substituindo
em uma das equações. Use a primeira:
Calcular
com
:
Então
Portanto
Passo 6
Escrever a expressão geral da P.G. e listar alguns termos para conferir (mini-checagem): a P.G. obtida tem primeiro termo
e razão
. Assim o termo geral é
Os primeiros termos são:
Verificação rápida:
Tudo confere.