Considere uma progressão geométrica em que o primeiro termo é a, a >1, a razão é q, q>1, e o produto dos seus termos é c. Se \log _{a} b=4, \log _{q} b=2 e \log _{\mathrm{c}} \mathrm{b}=0,01, quantos termos tem essa progressão geométrica?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados fornecidos:
    • Primeiro termo da progressão geométrica: a, com a>1.
    • Razão da progressão geométrica: q, com q>1.
    • Produto dos termos da progressão: c.
    • \log_{a} b = 4.
    • \log_{q} b = 2.
    • \log_{c} b = 0,01.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar quantos termos tem essa progressão geométrica (ou seja, encontrar n, o número de termos, supondo que seja finito e inteiro positivo).

Passo 2

Entender e usar a definição de \log (explicando o conceito de forma simples).
  • A definição de \log diz que, para bases positivas diferentes de 1: \log_{x} y = t é equivalente a x^{t} = y.
    • Por exemplo, da igualdade \log_{a} b = 4 segue que a^{4} = b.
    • Da igualdade \log_{q} b = 2 segue que q^{2} = b.
    • Da igualdade \log_{c} b = 0,01 segue que c^{0,01} = b, isto é, c^{1/100} = b.
Essa propriedade é fundamental e vou usá-la diretamente nos próximos passos.

Passo 3

Relacionar as informações das duas primeiras igualdades logarítmicas para conectar a e q.
  • Das duas expressões para b: b = a^{4} \qquad\text{e}\qquad b = q^{2}.
  • Igualando as duas expressões para b obtemos a^{4} = q^{2}.
  • Como a>1 e q>1, podemos tomar raízes positivas: q = a^{2}.
    • Explicação: q^{2} = a^{4} implica q = \pm a^{2}, mas a restrição q>1 força a escolha q = a^{2}.

Passo 4

Expressar o produto dos termos de uma progressão geométrica em função de a, q e n.
  • Se a progressão tem n termos, os termos são a,\; aq,\; aq^{2},\; \dots,\; aq^{n-1}.
  • O produto P desses n termos é P = a\cdot aq\cdot aq^{2}\cdots aq^{n-1}.
  • Agrupando potências de a e de q: P = a^{n} \cdot q^{0+1+2+\dots+(n-1)}.
  • A soma dos inteiros de 0 a n-1 é \dfrac{n(n-1)}{2}. Logo P = a^{n}\, q^{\frac{n(n-1)}{2}}.
  • No enunciado o produto vale c. Portanto c = a^{n}\, q^{\frac{n(n-1)}{2}}.

Passo 5

Substituir q = a^{2} na expressão de c para simplificar.
  • Substituindo q = a^{2} em \displaystyle c = a^{n}\, q^{\frac{n(n-1)}{2}} c = a^{n} \cdot (a^{2})^{\frac{n(n-1)}{2}}.
  • Calcular a potência: (a^{2})^{\frac{n(n-1)}{2}} = a^{2\cdot\frac{n(n-1)}{2}} = a^{n(n-1)}.
  • Assim c = a^{n}\cdot a^{n(n-1)} = a^{\,n + n(n-1)}.
  • Simplificando o expoente: n + n(n-1) = n + n^{2} - n = n^{2},então c = a^{\,n^{2}}.
  • Resumo: a expressão do produto dada as condições reduz-se a c = a^{n^{2}}.

Passo 6

Usar a terceira igualdade logarítmica \log_{c} b = 0,01 para relacionar c e b, e então usar b = a^{4}.
  • De \log_{c} b = 0,01 segue que b = c^{0,01} = c^{1/100}.
  • Reescrevendo, fica mais conveniente isolarmos c: c = b^{100}.
  • Mas já sabemos por \log_{a} b = 4 que b = a^{4}. Substituindo em c = b^{100} obtemos c = (a^{4})^{100} = a^{4\cdot 100} = a^{400}.

Passo 7

Igualar as duas expressões para c e resolver para n.
  • Temos por um lado c = a^{n^{2}} (Passo 5) e por outro c = a^{400} (Passo 6).
  • Igualando: a^{n^{2}} = a^{400}.
  • Como a>1, a função a^{x} é injetora em x, então os expoentes devem ser iguais: n^{2} = 400.
  • Assim n = \pm 20. Mas n é número de termos de uma progressão (deve ser inteiro positivo), logo n = 20.

Resposta

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