Considere uma progressão geométrica em que o primeiro termo é a, a
, a razão é
o produto dos seus termos é
. Se
e
, quantos termos tem essa progressão geométrica?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
-
Dados fornecidos:
- Primeiro termo da progressão geométrica:
, com . - Razão da progressão geométrica:
, com . - Produto dos termos da progressão:
. -
. -
. -
.
- Primeiro termo da progressão geométrica:
-
O que o enunciado pede:
- Determinar quantos termos tem essa progressão geométrica (ou seja, encontrar
, o número de termos, supondo que seja finito e inteiro positivo).
- Determinar quantos termos tem essa progressão geométrica (ou seja, encontrar
Passo 2
Entender e usar a definição de
(explicando o conceito de forma simples).
- A definição de
diz que, para bases positivas diferentes de : é equivalente a . - Por exemplo, da igualdade
segue que . - Da igualdade
segue que . - Da igualdade
segue que , isto é, .
- Por exemplo, da igualdade
Essa propriedade é fundamental e vou usá-la diretamente nos próximos passos.
Passo 3
Relacionar as informações das duas primeiras igualdades logarítmicas para conectar
e
.
- Das duas expressões para
: - Igualando as duas expressões para
obtemos - Como
e , podemos tomar raízes positivas: . - Explicação:
implica , mas a restrição força a escolha .
- Explicação:
Passo 4
Expressar o produto dos termos de uma progressão geométrica em função de
,
e
.
- Se a progressão tem
termos, os termos são - O produto
desses termos é - Agrupando potências de
e de : - A soma dos inteiros de
a é . Logo - No enunciado o produto vale
. Portanto
Passo 5
Substituir
na expressão de
para simplificar.
- Substituindo
em dá - Calcular a potência:
. - Assim
- Simplificando o expoente:
então - Resumo: a expressão do produto dada as condições reduz-se a
.
Passo 6
Usar a terceira igualdade logarítmica
para relacionar
e
, e então usar
.
- De
segue que - Reescrevendo, fica mais conveniente isolarmos
: - Mas já sabemos por
que . Substituindo em obtemos
Passo 7
Igualar as duas expressões para
e resolver para
.
- Temos por um lado
(Passo 5) e por outro (Passo 6). - Igualando:
- Como
, a função é injetora em , então os expoentes devem ser iguais: - Assim
. Mas é número de termos de uma progressão (deve ser inteiro positivo), logo
Resposta
20