Quantos meios devem ser intercalados entre 78125 e 128 para obter uma P.G. de razão \frac{2}{5} ?

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Primeiro termo: a=78125.
    • Último termo: b=128.
    • Razão da progressão geométrica: r=\dfrac{2}{5}.
  • Pergunta:
    • Quantos meios (termos) geométricos devem ser intercalados entre 78125 e 128 para que a sequência inteira seja uma progressão geométrica de razão \dfrac{2}{5}?

Passo 2

Entender o que significa inserir meios geométricos: se se inserem n meios entre a e b, a sequência fica
a,\; a r,\; a r^2,\; \dots,\; a r^{n},\; a r^{n+1}=b,
ou seja, há n+2 termos no total e para passar de a para b multiplicamos por r exatamente n+1 vezes. Por isso vale a relação fundamental
a\; r^{\,n+1}=b.
Essa fórmula é chave: ela relaciona a, b, r e o número n de meios inseridos.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao nosso caso, substituindo a, b e r:
78125\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n+1}=128.
Queremos resolver essa equação para n.

Passo 4

Isolar a potência:
\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n+1}=\dfrac{128}{78125}.
Agora é útil reconhecer as bases: 128 e 78125 são potências inteiras de 2 e 5, respectivamente. Vamos fazer isso explicando rapidamente.
  • 128 é 2^7, porque 2^7=128.
  • 78125 é 5^7, porque 5^7=78125 (vai: 5^3=125, 5^4=625, 5^5=3125, 5^6=15625, 5^7=78125).
Portanto
\dfrac{128}{78125}=\dfrac{2^7}{5^7}=\left(\dfrac{2}{5}\right)^7.

Passo 5

Agora comparamos as duas potências da mesma base \dfrac{2}{5}:
\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n+1}=\left(\dfrac{2}{5}\right)^7.
Quando uma base não nula elevada a potências é igual, os expoentes são iguais. Logo
n+1=7.

Passo 6

Resolver para n:
n=7-1=6.

Passo 7

Pequena verificação (opcional, só para dar segurança): aplicar 6 meios significa multiplicar a por r^{7}. De fato
78125\left(\dfrac{2}{5}\right)^7=78125\cdot\dfrac{2^7}{5^7}=78125\cdot\dfrac{128}{78125}=128,
confirmando que n=6 está correto. Boa — conseguimos!

Resposta

6

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