Quantos meios devem ser intercalados entre 78125 e 128 para obter uma P.G. de razão
?
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Primeiro termo:
. - Último termo:
. - Razão da progressão geométrica:
.
- Primeiro termo:
-
Pergunta:
- Quantos meios (termos) geométricos devem ser intercalados entre
e para que a sequência inteira seja uma progressão geométrica de razão ?
- Quantos meios (termos) geométricos devem ser intercalados entre
Passo 2
Entender o que significa inserir meios geométricos: se se inserem
meios entre
e
, a sequência fica
ou seja, há
termos no total e para passar de
para
multiplicamos por
exatamente
vezes. Por isso vale a relação fundamental
Essa fórmula é chave: ela relaciona
,
,
e o número
de meios inseridos.
Passo 3
Aplicar a fórmula ao nosso caso, substituindo
,
e
:
Queremos resolver essa equação para
.
Passo 4
Isolar a potência:
Agora é útil reconhecer as bases:
e
são potências inteiras de
e
, respectivamente. Vamos fazer isso explicando rapidamente.
-
é , porque . -
é , porque (vai: , , , , ).
Portanto
Passo 5
Agora comparamos as duas potências da mesma base
:
Quando uma base não nula elevada a potências é igual, os expoentes são iguais. Logo
Passo 6
Resolver para
:
Passo 7
Pequena verificação (opcional, só para dar segurança): aplicar
meios significa multiplicar
por
. De fato
confirmando que
está correto. Boa — conseguimos!