Obtenha d yd x por derivação implícita.
sec ^2(x)-csc ^2(y)=4;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação usando derivação implícita. O enunciado que temos é:
sec^2(x) - csc^2(y) = 4
A matéria que vamos usar aqui é cálculo, especificamente derivadas, e para isso vamos precisar entender como diferenciar funções que estão misturadas dessa forma. Vamos seguir passo a passo para achar dydx.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivação implícita. Quando temos uma equação onde y e x estão juntos, e não é fácil isolar y, usamos a derivação implícita. Isso significa que vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x, lembrando que y é uma função de x.

Passo 3

Vamos diferenciar cada termo da equação sec^2(x) - csc^2(y) = 4 em relação a x.
Começando com sec^2(x):
A derivada de sec^2(x) em relação a x é:
ddx sec^2(x) = 2sec(x)sec(x)tan(x) = 2sec^2(x)tan(x)
Agora, a derivada de -csc^2(y) em relação a x:
Como y é função de x, usamos a regra da cadeia:
ddx (-csc^2(y)) = -2csc(y)(-csc(y)cot(y)) cdot dydx = 2csc^2(y)cot(y) cdot dydx
E a derivada de 4 em relação a x é zero.

Passo 4

Agora, juntando tudo isso, temos:
2sec^2(x)tan(x) + 2csc^2(y)cot(y) cdot dydx = 0
Queremos isolar dydx. Vamos mover o primeiro termo para o outro lado:
2csc^2(y)cot(y) cdot dydx = -2sec^2(x)tan(x)

Passo 5

Agora, dividimos ambos os lados por 2csc^2(y)cot(y) para isolar dydx:
dydx = -2sec^2(x)tan(x)2csc^2(y)cot(y)
Simplificando os 2’s:
dydx = -sec^2(x)tan(x)csc^2(y)cot(y)

Resposta

Portanto, a derivada dydx é:
dydx = -sec^2(x)tan(x)csc^2(y)cot(y)

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