Obtenha d zd t de dois modos: usando a regra da cadeia e, posteriormente, determinando a função composta z(t) e derivando-a em t :
z=y e^x+x e^y, x=cos (t), y=sen(t)

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar para a função , onde e . Vamos usar a regra da cadeia e também derivar a função composta diretamente. Para isso, precisamos entender como aplicar a derivação em funções compostas e a regra da cadeia em cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a regra da cadeia para encontrar d zd t = partial zpartial x cdot d xd t + partial zpartial y cdot d yd t . A regra da cadeia nos diz que se depende de e , que por sua vez dependem de , então:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de partial zpartial x = y e^x + e^y em relação a partial zpartial y = e^x + x e^y e :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de d xd t = dd t [cos(t)] = -sen(t) e d yd t = dd t [sen(t)] = cos(t) em relação a :

Passo 5

Substituímos as derivadas encontradas na expressão da regra da cadeia:

Passo 6

Agora, substituímos d zd t = ( sen(t) e^cos(t) + e^sen(t) ) cdot (-sen(t)) + ( e^cos(t) + cos(t) e^sen(t) ) cdot cos(t) e na expressão acima:

Passo 7

Simplificando a expressão:

Passo 8

Podemos agrupar os termos:

Passo 9

Agora, vamos determinar a função composta z(t) = y e^x + x e^y = sen(t) e^cos(t) + cos(t) e^sen(t) :

Passo 10

Vamos derivar d zd t = dd t [sen(t) e^cos(t)] + dd t [cos(t) e^sen(t)] diretamente em relação a :

Passo 11

Aplicando a regra do produto em cada termo:

Passo 12

Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada d zd t = (cos^2(t) - sen^2(t)) e^cos(t) + (cos^2(t) - sen(t)) e^sen(t) é:

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