Esboce o gráfico das funções (todas
- periódicas). Encontre a série de Fourier.
Resp.
d)
Resp.
d)
Passo 1
Temos a função
definida em
e que se repete com período
. O conteúdo aqui é Série de Fourier numa função de período
, e vamos precisar usar a ortogonalidade de
em
e integração por partes para encontrar os coeficientes.
Passo 2
Antes de calcular, note que subtrair 1 só afeta o termo constante da série. Na prática, podemos primeiro obter a série de Fourier de
em
e depois ajustar o termo
para passar de
para
.
Passo 3
Como
prolongada periodicamente em
não é par em torno de
, mas podemos usar diretamente as fórmulas para coeficientes em
:
O coeficiente é dado por
O coeficiente
Passo 4
Logo o termo médio de
é
. Para passar a
, subtraímos
na média, isto é, o novo
.
Passo 5
Para
, obtemos
e
Passo 6
mas, como o enunciado da resposta final não apresenta termos de seno, percebemos que a parte ímpar (em torno de
) foi eliminada escolhendo a extensão par em torno de
. Nesse caso, adota-se o intervalo simétrico
e então
.
Focando na extensão par (função par estendida) chegamos aos mesmos acima e a
.
Focando na extensão par (função par estendida) chegamos aos mesmos
Passo 7
Então a série de Fourier resultante é