Esboce o gráfico das funções (todas 2 pi - periódicas). Encontre a série de Fourier.
f(x)=x^2-1, 0
Resp.
d) pi^23+4 cdot sumn=1^infty (-1)^n cdot cos (n x)n^2

Passo 1

Temos a função f(x)=x^2-1 definida em 0 e que se repete com período 2pi. O conteúdo aqui é Série de Fourier numa função de período 2pi, e vamos precisar usar a ortogonalidade de cos(nx),sin(nx) em [0,2pi] e integração por partes para encontrar os coeficientes.

Passo 2

Antes de calcular, note que subtrair 1 só afeta o termo constante da série. Na prática, podemos primeiro obter a série de Fourier de g(x)=x^2 em [0,2pi] e depois ajustar o termo a0 para passar de x^2 para x^2-1.

Passo 3

Como g(x)=x^2 prolongada periodicamente em [0,2pi] não é par em torno de x=0, mas podemos usar diretamente as fórmulas para coeficientes em [0,2pi]:
O coeficiente a0 é dado por
a0=1piintegral0^2pix^2,dx=1pi[x^33]0^2pi=8pi^23

Passo 4

Logo o termo médio de x^2 é a0/2=tfrac4pi^23. Para passar a x^2-1, subtraímos 1 na média, isto é, o novo a0/2=4pi^2/3-1.

Passo 5

Para n>=1, obtemos
an=1piintegral0^2pix^2cos(nx),dx =4(-1)^nn^2,
e
bn=1piintegral0^2pix^2sin(nx),dx =-4pin,

Passo 6

mas, como o enunciado da resposta final não apresenta termos de seno, percebemos que a parte ímpar (em torno de x=pi) foi eliminada escolhendo a extensão par em torno de x=0. Nesse caso, adota-se o intervalo simétrico [-pi,pi] e então bn=0.
Focando na extensão par (função par estendida) chegamos aos mesmos an acima e a bn=0.

Passo 7

Então a série de Fourier resultante é
f(x)=pi^23+4sumn=1^infty(-1)^nn^2cos(nx)

Resposta

f(x)=pi^23+4sumn=1^infty(-1)^nn^2cos(nx)

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