Obtenha d zd t de dois modos: usando a regra da cadeia e, posteriormente, determinando a função composta z(t) e derivando-a em t :
z=(x^2+y^2) ln (raizx^2+y^2), x=e^t, y=e^-t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar duas abordagens:
  1. Usando a regra da cadeia: Essa é uma técnica da derivada que nos ajuda a diferenciar funções compostas.
  2. Determinando a função composta e derivando diretamente: Aqui, primeiro substituímos e por suas expressões em termos de e depois derivamos.
Vamos precisar de conhecimentos básicos de derivadas, regra da cadeia, e manipulação de funções compostas.

Passo 2

Primeira abordagem: Usando a Regra da Cadeia
Primeiro, vamos relembrar a regra da cadeia. Se temos uma função composta dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt onde e são funções de , então a derivada de em relação a é:
Vamos identificar as partes:
  • então
  • então

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de z = (x^2 + y^2) ln(raizx^2 + y^2) = (x^2 + y^2) cdot 12 ln(x^2 + y^2) = 12 (x^2 + y^2) ln(x^2 + y^2) em relação a partial zpartial x = 12 (2x ln(x^2 + y^2) + (x^2 + y^2) cdot 2xx^2 + y^2) = x ln(x^2 + y^2) + x e partial zpartial y = y ln(x^2 + y^2) + y .
Primeiro, simplificamos :
Agora, derivando em relação a :
De forma similar, derivando em relação a :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia:
dzdt = (x ln(x^2 + y^2) + x) cdot dxdt + (y ln(x^2 + y^2) + y) cdot dydt
Substituindo dzdt = (e^t ln(e^2t + e^-2t) + e^t) cdot e^t + (e^-t ln(e^2t + e^-2t) + e^-t) cdot (-e^-t) , , , e :

Passo 5

Simplificando os termos:
dzdt = e^2t ln(e^2t + e^-2t) + e^2t - e^-2t ln(e^2t + e^-2t) - e^-2t
Podemos agrupar os termos:
dzdt = (e^2t - e^-2t) ln(e^2t + e^-2t) + (e^2t - e^-2t)

Passo 6

Segunda abordagem: Determinando z(t) = (e^2t + e^-2t) ln(raize^2t + e^-2t) e Derivando Diretamente
Primeiro, substituímos z(t) = (e^2t + e^-2t) cdot 12 ln(e^2t + e^-2t) = 12 (e^2t + e^-2t) ln(e^2t + e^-2t) e nas expressões em termos de :
Simplificando a expressão dentro do logaritmo:

Passo 7

Agora, vamos derivar dzdt = 12 [ ddt(e^2t + e^-2t) cdot ln(e^2t + e^-2t) + (e^2t + e^-2t) cdot ddt ln(e^2t + e^-2t) ] em relação a ddt(e^2t + e^-2t) = 2e^2t - 2e^-2t usando a regra do produto e a regra da cadeia:
ddt ln(e^2t + e^-2t) = 2e^2t - 2e^-2te^2t + e^-2t
Calculando as derivadas:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão de dzdt = 12 [ (2e^2t - 2e^-2t) ln(e^2t + e^-2t) + (e^2t + e^-2t) cdot 2e^2t - 2e^-2te^2t + e^-2t ] :
dzdt = 12 [ (2e^2t - 2e^-2t) ln(e^2t + e^-2t) + 2e^2t - 2e^-2t ]
Simplificando:
dzdt = (e^2t - e^-2t) ln(e^2t + e^-2t) + (e^2t - e^-2t)
Fatorando:

Resposta

A derivada de dzdt = (e^2t - e^-2t) ln(e^2t + e^-2t) + (e^2t - e^-2t) em relação a é:

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