Obtenha
de dois modos: usando a regra da cadeia e, posteriormente, determinando a função composta
e derivando-a em
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar duas abordagens:
- Usando a regra da cadeia: Essa é uma técnica da derivada que nos ajuda a diferenciar funções compostas.
- Determinando a função composta
e derivando diretamente: Aqui, primeiro substituímos e por suas expressões em termos de e depois derivamos.
Vamos precisar de conhecimentos básicos de derivadas, regra da cadeia, e manipulação de funções compostas.
Passo 2
Primeira abordagem: Usando a Regra da Cadeia
Primeiro, vamos relembrar a regra da cadeia. Se temos uma função composta
onde
e
são funções de
, então a derivada de
em relação a
é:
Vamos identificar as partes:
-
-
então -
então
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Primeiro, simplificamos
:
Agora, derivando em relação a
:
De forma similar, derivando em relação a
:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra da cadeia:
Substituindo
,
,
, e
:
Passo 5
Simplificando os termos:
Podemos agrupar os termos:
Passo 6
Segunda abordagem: Determinando
e Derivando Diretamente
Primeiro, substituímos
e
nas expressões em termos de
:
Simplificando a expressão dentro do logaritmo:
Passo 7
Agora, vamos derivar
em relação a
usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Calculando as derivadas:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão de
:
Simplificando:
Fatorando:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: