Obtenha a derivada de cada função f dada abaixo:
f(x)=\left(2+3 x+x^{2}\right)^{5}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = \bigl(2 + 3x + x^2\bigr)^{5}.
O conteúdo necessário é a regra da cadeia, pois temos uma função composta do tipo g(h(x)).

Passo 2

Identificamos as funções internas e externas da composição:
h(x) = x^2 + 3x + 2, \quad g(u) = u^{5},
de modo que f(x) = g\bigl(h(x)\bigr). Pela regra da cadeia,
f'(x) = g'\bigl(h(x)\bigr)\,\cdot\,h'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de g e de h:
g'(u) = 5\,u^{4}, \quad h'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^2 + 3x + 2\bigr) = 2x + 3.

Passo 4

Substituindo na fórmula da regra da cadeia, obtemos
f'(x) = 5\,\bigl(h(x)\bigr)^{4}\,\cdot\,(2x+3) = 5\,\bigl(x^2+3x+2\bigr)^{4}\,(2x+3).

Resposta

f'(x) = 5\,(2x+3)\,(x^2 + 3x + 2)^{4}.

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