Obtenha a derivada de cada função f dada abaixo:
f(x)=x \cdot e^{x}+\cos x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de
f(x)=x\cdot e^{x}+\cos x.
O que precisamos aqui é usar a regra da soma de derivadas, a regra do produto e as derivadas conhecidas de \mathrm e^x e de \cos x.

Passo 2

Aplicando a regra da soma, temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\,e^x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(\cos x\bigr).

Passo 3

Para derivar x\,e^x usamos a regra do produto: se u(x)=x e v(x)=e^x, então
\frac{d}{dx}\bigl(u\,v\bigr)=u'\,v+u\,v'.
Aqui u'=1 e v'=e^x, logo
\frac{d}{dx}\bigl(x\,e^x\bigr) =1\cdot e^x + x\cdot e^x =e^x + x\,e^x.

Passo 4

A derivada de \cos x é
\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x.

Passo 5

Somando os resultados, obtemos
f'(x)=\bigl(e^x + x\,e^x\bigr)+\bigl(-\sin x\bigr) =e^x + x\,e^x - \sin x.
Opcionalmente, podemos fatorar e^x:
f'(x)=e^x\,(x+1)-\sin x.

Resposta

f'(x)=e^x\,(x+1)-\sin x

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