Obtenha a derivada de cada função f dada abaixo:
f(x)=x^{2}\left(x+x^{4}\right)\left(1+x+x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x^{2}\bigl(x+x^{4}\bigr)\bigl(1+x+x^{3}\bigr).
O conteúdo aqui é a regra do produto para três fatores. Vamos usar
\frac{d}{dx}\bigl(u\cdot v\cdot w\bigr)=u'\,v\,w + u\,v'\,w + u\,v\,w'.

Passo 2

Identificamos os três fatores:
u(x)=x^{2},\quad v(x)=x+x^{4},\quad w(x)=1+x+x^{3}.
Em seguida, calculamos as derivadas de cada um:

Passo 3

Derivada de cada fator:
u'(x)=2x,
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x+x^{4}\bigr)=1+4x^{3},
w'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(1+x+x^{3}\bigr)=1+3x^{2}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto para três funções:
f'(x)=u'(x)\,v(x)\,w(x) +u(x)\,v'(x)\,w(x) +u(x)\,v(x)\,w'(x).
Substituindo u,u',v,v',w,w':

Passo 5

f'(x) =2x\bigl(x+x^{4}\bigr)\bigl(1+x+x^{3}\bigr) +x^{2}\bigl(1+4x^{3}\bigr)\bigl(1+x+x^{3}\bigr) +x^{2}\bigl(x+x^{4}\bigr)\bigl(1+3x^{2}\bigr).

Resposta

f'(x) =2x\bigl(x+x^{4}\bigr)\bigl(1+x+x^{3}\bigr) +x^{2}\bigl(1+4x^{3}\bigr)\bigl(1+x+x^{3}\bigr) +x^{2}\bigl(x+x^{4}\bigr)\bigl(1+3x^{2}\bigr).

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