Obtenha a derivada de cada função f dada abaixo:
f(x)=\left(3 x^{2}+x\right)\left(1+x+x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f(x)=(3x^2+x)\,(1+x+x^3).
O conteúdo aqui é a regra do produto e derivação de polinômios.

Passo 2

Seja u(x)=3x^2+x
e v(x)=1+x+x^3.
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada fator:
u'(x)=\frac{d}{dx}(3x^2+x)=6x+1, \qquad v'(x)=\frac{d}{dx}(1+x+x^3)=1+3x^2.

Passo 4

Substituindo em f'(x)=u'v+uv', obtemos:
f'(x)=(6x+1)(1+x+x^3)+(3x^2+x)(1+3x^2).

Passo 5

Agora é só expandir e somar termos semelhantes.
Expandindo cada produto:
(6x+1)(1+x+x^3)=6x^4+x^3+6x^2+7x+1,
(3x^2+x)(1+3x^2)=9x^4+3x^3+3x^2+x.
Somando tudo,
f'(x)=15x^4+4x^3+9x^2+8x+1.

Resposta

f'(x)=15x^4+4x^3+9x^2+8x+1

Exercícios relacionados