Obtenha a derivada de cada função f dada abaixo:
f(x)=x^{4} \cdot a^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = x^{4} \cdot a^{2x},
onde usamos a regra do produto e a derivada de uma função exponencial do tipo a^{g(x)}.

Passo 2

Definimos
u(x) = x^{4}, \quad v(x) = a^{2x}.
Pela regra do produto,
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos u'(x). Como u(x)=x^{4},
u'(x) = 4x^{3}.

Passo 4

Calculamos v'(x). Para v(x)=a^{2x}, usamos a derivada de a^{g(x)}:
v'(x) = a^{2x} \cdot \ln(a) \cdot \bigl(2x\bigr)',
e como \bigl(2x\bigr)'=2,
v'(x) = 2\,\ln(a)\,a^{2x}.

Passo 5

Substituindo em
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x)
temos
f'(x) = 4x^{3}\,a^{2x} + x^{4}\,\bigl(2\ln(a)\,a^{2x}\bigr) = a^{2x} \bigl(4x^{3} + 2x^{4}\ln(a)\bigr).
Podemos fatorar x^{3}:
f'(x) = a^{2x}\,x^{3}\,\bigl(4 + 2x\ln(a)\bigr).

Resposta

f'(x) = a^{2x}\,x^{3}\,\bigl(4 + 2x\ln(a)\bigr).

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