Obtenha a derivada de cada função f dada abaixo:
f(x)=sen^7 x cdot cos ^3 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=sin^7x;cdot;cos^3x
O conteúdo envolvido é a regra do produto e a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Identificamos duas funções:
u(x)=sin^7x e v(x)=cos^3x
Para derivar f(x)=u(x),v(x) usamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 3

Calculamos u'(x). Como u(x)=[sin x]^7, aplicamos a regra da cadeia:
u'(x)=7,[sin x]^6cdotddx(sin x) =7,sin^6xcdotcos x

Passo 4

Agora calculamos v'(x). Como v(x)=[cos x]^3, de novo pela regra da cadeia:
v'(x)=3,[cos x]^2cdotddx(cos x) =3,cos^2xcdot(-sin x) =-3,sin x,cos^2x

Passo 5

Substituímos u'(x) e v'(x) na fórmula da regra do produto:
f'(x) = l(7,sin^6xcos xr),cos^3x + sin^7x,l(-3,sin x,cos^2xr)

Passo 6

Simplificamos cada termo:
7,sin^6xcos xcdotcos^3x =7,sin^6x,cos^4x,
sin^7xcdot(-3,sin x,cos^2x) =-3,sin^8x,cos^2x
Logo,
f'(x) =7,sin^6x,cos^4x -3,sin^8x,cos^2x

Passo 7

Fatoramos o máximo em comum, que é sin^6x,cos^2x:
f'(x) =sin^6x,cos^2x l(7,cos^2x-3,sin^2xr)

Resposta

f'(x) =sin^6x,cos^2x l(7,cos^2x-3,sin^2xr)

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