Obtenha a derivada de cada função a seguir:
f(x)=10 x^{3}+5 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para obter a derivada da função
f(x)=10x^{3}+5x^{2}.
Informações dadas: a expressão explícita de f(x) como soma de dois termos polinomiais. Pergunta: calcular f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Entendendo o que significa “derivada” de forma simples e prática: a derivada de uma função em relação a x é a taxa de variação instantânea da função — ou seja, como a função muda quando x muda um pouquinho. Formalmente é um limite, mas na prova nós normalmente aplicamos regras que tornam o cálculo rápido. As regras que vamos usar são estas:
Regra da soma (linearidade): a derivada da soma é a soma das derivadas.
\frac{d}{dx}\big(u(x)+v(x)\big)=\frac{d}{dx}u(x)+\frac{d}{dx}v(x).
Regra do fator constante: uma constante pode sair da derivada.
\frac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot\frac{d}{dx}g(x),
onde c é constante.
Regra do poder (power rule): para qualquer expoente inteiro positivo n,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Explicação rápida do power rule: você multiplica pelo expoente e reduz o expoente em uma unidade. Por exemplo, \frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2} porque 3 (expoente) multiplica e o novo expoente é 3-1=2.

Passo 3

Aplicando a regra da soma à função f(x):
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(10x^{3}+5x^{2}\big)=\frac{d}{dx}\big(10x^{3}\big)+\frac{d}{dx}\big(5x^{2}\big).

Passo 4

Agora aplicamos a regra do fator constante em cada termo:
\frac{d}{dx}\big(10x^{3}\big)=10\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big), \qquad \frac{d}{dx}\big(5x^{2}\big)=5\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big).

Passo 5

Usamos o power rule para derivar as potências:
\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3x^{2}, \qquad \frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x.
(Como lembrança: multiplico pelo expoente e subtraio 1 do expoente.)

Passo 6

Substituindo essas derivadas na expressão de f'(x):
f'(x)=10\cdot(3x^{2})+5\cdot(2x).

Passo 7

Fazendo as multiplicações:
f'(x)=30x^{2}+10x.
Podemos também, se quiseres, fatorar um 10x para ver outra forma equivalente:
f'(x)=10x(3x+1).

Resposta

30x^{2}+10x

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