Calcule as derivadas das seguintes funções:
s(x)=2 x^{3}-3 x^{2}+4 x-5

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas da função s(x) dada abaixo. Informações fornecidas:
s(x)=2x^{3}-3x^{2}+4x-5.
A tarefa é encontrar as derivadas (vamos calcular a derivada primeira s'(x) e a derivada segunda s''(x) para ficar completo).

Passo 2

Antes de derivar, vamos revisar as regras essenciais de forma bem prática e sem mistério:
Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se f(x)=g(x)+h(x) então
f'(x)=g'(x)+h'(x).
Regra do fator constante: se uma função é multiplicada por uma constante a, então a derivada é essa constante vezes a derivada da função. Ou seja, se f(x)=a\cdot g(x) então
f'(x)=a\cdot g'(x).
Regra da potência (a mais importante aqui): para x elevado a um inteiro n,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Nessa fórmula, n é o expoente (um número) e x é a variável. Exemplo rápido: \frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.
Também: a derivada de uma constante é zero. Ou seja, se c é número, \frac{d}{dx}\text{(c)}=0.
Com essas três regrinhas já dá para derivar polinômios inteiros tranquilamente.

Passo 3

Agora aplicamos termo a termo na função \,s(x)=2x^{3}-3x^{2}+4x-5.
Vamos derivar cada parcela usando as regras acima:
  1. Para \,2x^{3}: uso a regra do fator constante e a regra da potência.
\frac{d}{dx}\big(2x^{3}\big)=2\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=2\cdot(3x^{2})=6x^{2}.
Expliquei: multipliquei o expoente 3 pelo coeficiente 2 e diminui o expoente em 1, resultando em 6x^{2}.
  1. Para -3x^{2}:
\frac{d}{dx}\big(-3x^{2}\big)=-3\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=-3\cdot(2x)=-6x.
Aqui o expoente 2 multiplicou o coeficiente -3 e o expoente caiu para 1.
  1. Para 4x: lembrar que x=x^{1}.
\frac{d}{dx}\big(4x\big)=4\cdot\frac{d}{dx}\big(x\big)=4\cdot 1=4.
Pois \frac{d}{dx}(x)=1.
  1. Para -5 (constante):
\frac{d}{dx}(-5)=0.

Passo 4

Agora somamos as derivadas dos termos (regra da soma):
s'(x)=6x^{2}-6x+4+0.
Simplificando:
s'(x)=6x^{2}-6x+4.

Passo 5

Se quiser a derivada segunda, basta derivar s'(x) termo a termo novamente:
Derivando 6x^{2}: \frac{d}{dx}(6x^{2})=6\cdot(2x)=12x.
Derivando -6x: \frac{d}{dx}(-6x)=-6\cdot 1=-6.
Derivando 4: \frac{d}{dx}(4)=0.
Somando:
s''(x)=12x-6.

Resposta

s'(x)=6x^{2}-6x+4
s''(x)=12x-6

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