Calcule as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas da função
dada abaixo. Informações fornecidas:
A tarefa é encontrar as derivadas (vamos calcular a derivada primeira
e a derivada segunda
para ficar completo).
Passo 2
Antes de derivar, vamos revisar as regras essenciais de forma bem prática e sem mistério:
Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então
Regra do fator constante: se uma função é multiplicada por uma constante
, então a derivada é essa constante vezes a derivada da função. Ou seja, se
então
Regra da potência (a mais importante aqui): para
elevado a um inteiro
,
Nessa fórmula,
é o expoente (um número) e
é a variável. Exemplo rápido:
.
Também: a derivada de uma constante é zero. Ou seja, se
é número,
.
Com essas três regrinhas já dá para derivar polinômios inteiros tranquilamente.
Passo 3
Agora aplicamos termo a termo na função
.
Vamos derivar cada parcela usando as regras acima:
- Para
: uso a regra do fator constante e a regra da potência.
Expliquei: multipliquei o expoente
pelo coeficiente
e diminui o expoente em 1, resultando em
.
- Para
:
Aqui o expoente
multiplicou o coeficiente
e o expoente caiu para
.
- Para
: lembrar que .
Pois
.
- Para
(constante):
Passo 4
Agora somamos as derivadas dos termos (regra da soma):
Simplificando:
Passo 5
Se quiser a derivada segunda, basta derivar
termo a termo novamente:
Derivando
:
Derivando
:
Derivando
:
Somando: