Questão 1.
(11 P.) Resolva o problema a seguir usando o método da transformada de Fourier.
\begin{aligned} \partial_{t} u-3 t^{2} \partial_{x} u & =0, \quad-\infty<x<\infty, t>0 ; \\\ u(x, 0) & =f(x), \quad-\infty<x<\infty \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial parcial
\partial_{t} u-3 t^{2} \partial_{x} u =0,\quad -\infty<x<\infty,\; t>0,
com condição inicial
u(x,0)=f(x),\quad -\infty<x<\infty.
Informações dadas: a PDE é de primeira ordem linear, definida para todo x\in\mathbb{R} e t>0; a função inicial é f(x). O enunciado exige usar o método da transformada de Fourier.

Passo 2

Vou escolher uma convenção clara para a transformada de Fourier em x. Defino a transformada espacial de u(x,t) por
\hat{u}(k,t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx}\,u(x,t)\,dx,
e a transformada inversa por
u(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\,\hat{u}(k,t)\,dk.
Aqui k é a variável de frequência (uma variável real). Essas definições são padrão e lineares: a transformada da soma é a soma das transformadas, e de uma constante multiplicada também sai multiplicada.
Preciso também da propriedade da transformada espacial para derivada em x. Se u(x,t) decai suficientemente rápido em |x|\to\infty (hipótese usual para poder trocar integrais e anular termos de fronteira), então por integração por partes:
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx}\,\partial_x u(x,t)\,dx = \Big[e^{-ikx}u(x,t)\Big]_{-\infty}^{\infty} + ik\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx}u(x,t)\,dx.
Sob a hipótese de anular o termo de fronteira, isso dá
\widehat{\partial_x u}(k,t)=ik\,\hat{u}(k,t).
Essa é a fórmula que vou usar: derivação em x vira multiplicação por ik no domínio das frequências.

Passo 3

Agora aplico a transformada em x na PDE. Transformando cada termo:
\widehat{\partial_t u}(k,t)=\partial_t\hat{u}(k,t)
(pois a transformada age só em x, t é parâmetro), e
\widehat{3t^{2}\partial_x u}(k,t)=3t^{2}\, \widehat{\partial_x u}(k,t)=3t^{2}\,(ik)\,\hat{u}(k,t).
Portanto a PDE transformada fica uma equação diferencial ordinária em t para \hat{u}(k,t):
\partial_t\hat{u}(k,t)-3i k t^{2}\,\hat{u}(k,t)=0.

Passo 4

Resolvendo a ODE em t. Escrevo de forma separável:
\frac{\partial_t\hat{u}}{\hat{u}}=3i k t^{2}.
Integro em t (a constante de integração pode depender de k):
\ln\hat{u}(k,t)=\int 3i k t^{2}\,dt + C(k)=i k t^{3}+C(k),
pois \int 3t^{2}\,dt=t^{3}. Assim
\hat{u}(k,t)=e^{C(k)}\,e^{i k t^{3}}.
Em t=0 a transformada deve coincidir com a transformada de f:
\hat{u}(k,0)=\widehat{u(\cdot,0)}(k)=\hat{f}(k).
Como \hat{u}(k,0)=e^{C(k)}, obtemos e^{C(k)}=\hat{f}(k). Logo
\hat{u}(k,t)=\hat{f}(k)\,e^{i k t^{3}}.

Passo 5

Faço a transformada inversa para voltar a u(x,t):
u(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\,\hat{u}(k,t)\,dk =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\,\hat{f}(k)\,e^{i k t^{3}}\,dk.
Combino os expoentes:
u(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ik(x+t^{3})}\,\hat{f}(k)\,dk.
Agora uso a propriedade básica da transformada: a transformada inversa de \hat{f}(k)e^{ik a} é f(x+a). Para ver isso rapidamente, faça a mudança de variável \xi=x+a na integral inversa de \hat{f}(k)e^{ik a} ou note que e^{ik a} corresponde a translação no espaço. Aplicando essa propriedade com a=t^{3} deduzimos
u(x,t)=f(x+t^{3}).

Passo 6

Checagem rápida (pra você ficar seguro): verifique a condição inicial e a PDE.
  • Inicialmente, para t=0:
u(x,0)=f(x+0)=f(x),
ok.
  • Derivadas: escrevendo u(x,t)=f(x+t^{3}),
\partial_x u(x,t)=f'(x+t^{3}),\qquad \partial_t u(x,t)=3t^{2}f'(x+t^{3}).
Então
\partial_t u-3t^{2}\partial_x u=3t^{2}f'(x+t^{3})-3t^{2}f'(x+t^{3})=0,
então satisfaz a PDE. Perfeito.

Passo 7

Comentários finais e intuição: a solução u(x,t)=f(x+t^{3}) significa que cada perfil inicial f é deslocado para a esquerda no eixo x à medida que t cresce (como o deslocamento é +t^{3}, se preferir pensar, é uma translação). Se quiser um exemplo concreto: se f(x)=\sin x, então u(x,t)=\sin(x+t^{3}). A transformada de Fourier torna isso mecânico porque multiplicações por fases e^{ik a} no domínio das frequências correspondem exatamente a translações no espaço.

Resposta

u(x,t)=f(x+t^{3})

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