Questão 1.
(11 P.) Resolva o problema a seguir usando o método da transformada de Fourier.
(11 P.) Resolva o problema a seguir usando o método da transformada de Fourier.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial parcial
com condição inicial
Informações dadas: a PDE é de primeira ordem linear, definida para todo
e
; a função inicial é
. O enunciado exige usar o método da transformada de Fourier.
Passo 2
Vou escolher uma convenção clara para a transformada de Fourier em
. Defino a transformada espacial de
por
e a transformada inversa por
Aqui
é a variável de frequência (uma variável real). Essas definições são padrão e lineares: a transformada da soma é a soma das transformadas, e de uma constante multiplicada também sai multiplicada.
Preciso também da propriedade da transformada espacial para derivada em
. Se
decai suficientemente rápido em
(hipótese usual para poder trocar integrais e anular termos de fronteira), então por integração por partes:
Sob a hipótese de anular o termo de fronteira, isso dá
Essa é a fórmula que vou usar: derivação em
vira multiplicação por
no domínio das frequências.
Passo 3
Agora aplico a transformada em
na PDE. Transformando cada termo:
(pois a transformada age só em
,
é parâmetro), e
Portanto a PDE transformada fica uma equação diferencial ordinária em
para
:
Passo 4
Resolvendo a ODE em
. Escrevo de forma separável:
Integro em
(a constante de integração pode depender de
):
pois
. Assim
Em
a transformada deve coincidir com a transformada de
:
Como
, obtemos
. Logo
Passo 5
Faço a transformada inversa para voltar a
:
Combino os expoentes:
Agora uso a propriedade básica da transformada: a transformada inversa de
é
. Para ver isso rapidamente, faça a mudança de variável
na integral inversa de
ou note que
corresponde a translação no espaço. Aplicando essa propriedade com
deduzimos
Passo 6
Checagem rápida (pra você ficar seguro): verifique a condição inicial e a PDE.
- Inicialmente, para
:
ok.
- Derivadas: escrevendo
,
Então
então satisfaz a PDE. Perfeito.
Passo 7
Comentários finais e intuição: a solução
significa que cada perfil inicial
é deslocado para a esquerda no eixo
à medida que
cresce (como o deslocamento é
, se preferir pensar, é uma translação). Se quiser um exemplo concreto: se
, então
. A transformada de Fourier torna isso mecânico porque multiplicações por fases
no domínio das frequências correspondem exatamente a translações no espaço.