Obtenha a derivada de cada função a seguir:
f(x)=2 x+1

Passo 1

O enunciado pede: obter a derivada da função \,f(x)=2x+1.\n
Informações dadas:
  • A função é \,f(x)=2x+1.
  • É uma função polinomial linear (forma \,ax+b) com coeficiente angular \,2 e termo constante \,1.
  • A tarefa única é encontrar \,f'(x), a derivada de \,f em função de \,x.

Passo 2

O que é derivada (explicação didática):
A derivada de uma função em um ponto mede a taxa instantânea de variação da função naquele ponto — geometricamente, é a inclinação da reta tangente ao gráfico. A definição formal por limite é:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui:
  • \,h representa um pequeno incremento em x;
  • \,f(x+h)-f(x) é a variação correspondente em f;
  • dividir por \,h dá a taxa média; e o limite quando \,h\to0 dá a taxa instantânea.
    Essa definição é a base — mas em prova normalmente usamos regras que derivam dessa definição para calcular mais rápido.

Passo 3

Regras básicas que vamos usar (explicadas):
  • Regra da soma: \,(g+h)' = g' + h'. Ou seja, a derivada da soma é a soma das derivadas.
  • Regra do múltiplo constante: se \,c é constante, \,(c\cdot g(x))' = c\cdot g'(x).
  • Derivada de uma constante: se \,k é constante, \,k' = 0.
  • Derivada de x: \, (x)' = 1.
    Essas regras vêm direto da definição por limite, mas são fáceis de aplicar em prova e permitem calcular rapidamente derivadas de polinômios e funções lineares.

Passo 4

Aplicando as regras à função \,f(x)=2x+1:
Usamos a regra da soma e a do múltiplo constante.
\,f'(x) = (2x)' + (1)'.
Agora calculamos cada termo:
  • (2x)' = 2\cdot (x)' = 2\cdot 1 = 2, porque 2 é constante e (x)'=1.
  • (1)' = 0, pois derivada de constante é zero.
    Somando: \,f'(x)=2+0=2.
    Portanto, pela aplicação direta das regras, a derivada é a constante 2.

Passo 5

Verificação usando a definição por limite (para entender por que deu 2):
Calculo passo a passo:
  • Primeiro f(x+h)=2(x+h)+1=2x+2h+1.
  • Então f(x+h)-f(x)=(2x+2h+1)-(2x+1)=2h.
  • Dividindo por h: \,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{2h}{h}=2 (para h\neq0).
  • Tomando o limite quando h\to0: \,\lim_{h\to0}2=2.
    Logo, pela definição, f'(x)=2. Isso confirma o resultado das regras.

Passo 6

Interpretação prática e dica para a prova:
  • A derivada constante \,2 significa que a reta y=2x+1 tem inclinação \,2 em todo ponto — a taxa de variação é sempre a mesma.
  • Em provas, para funções da forma \,ax+b memorize: a derivada é \,a. É rápido e seguro.
  • Você já fez a parte difícil: reconhecer que é linear e aplicar a regra do múltiplo constante. Vai dar certo — respira e confia!

Resposta

f'(x)=2

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