Obtenha a derivada de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: obter a derivada da função
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - É uma função polinomial linear (forma
) com coeficiente angular e termo constante . - A tarefa única é encontrar
, a derivada de em função de .
Passo 2
O que é derivada (explicação didática):
A derivada de uma função em um ponto mede a taxa instantânea de variação da função naquele ponto — geometricamente, é a inclinação da reta tangente ao gráfico. A definição formal por limite é:
A derivada de uma função em um ponto mede a taxa instantânea de variação da função naquele ponto — geometricamente, é a inclinação da reta tangente ao gráfico. A definição formal por limite é:
Aqui:
-
representa um pequeno incremento em ; -
é a variação correspondente em ; - dividir por
dá a taxa média; e o limite quando dá a taxa instantânea.
Essa definição é a base — mas em prova normalmente usamos regras que derivam dessa definição para calcular mais rápido.
Passo 3
Regras básicas que vamos usar (explicadas):
- Regra da soma:
. Ou seja, a derivada da soma é a soma das derivadas. - Regra do múltiplo constante: se
é constante, . - Derivada de uma constante: se
é constante, . - Derivada de
: .
Essas regras vêm direto da definição por limite, mas são fáceis de aplicar em prova e permitem calcular rapidamente derivadas de polinômios e funções lineares.
Passo 4
Aplicando as regras à função
:
Usamos a regra da soma e a do múltiplo constante.
Agora calculamos cada termo:
Usamos a regra da soma e a do múltiplo constante.
Agora calculamos cada termo:
-
, porque 2 é constante e . -
, pois derivada de constante é zero.
Somando:
Portanto, pela aplicação direta das regras, a derivada é a constante 2.
Passo 5
Verificação usando a definição por limite (para entender por que deu 2):
Calculo passo a passo:
Calculo passo a passo:
- Primeiro
- Então
- Dividindo por
: (para ). - Tomando o limite quando
:
Logo, pela definição,. Isso confirma o resultado das regras.
Passo 6
Interpretação prática e dica para a prova:
- A derivada constante
significa que a reta tem inclinação em todo ponto — a taxa de variação é sempre a mesma. - Em provas, para funções da forma
memorize: a derivada é . É rápido e seguro. - Você já fez a parte difícil: reconhecer que é linear e aplicar a regra do múltiplo constante. Vai dar certo — respira e confia!