Obtenha a derivada de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a derivada da função
Informações dadas que vamos usar: a expressão explícita de
e que ela é uma composição de funções (uma expressão dentro de um expoente). A tarefa é encontrar
, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Identificar as funções interior e exterior da composição (isto é só para organizar): seja
e
de modo que
. Vou usar a regra da cadeia: se
então
Aqui
é a derivada de
em relação à sua variável
, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Derivo a função exterior
. Pela regra do expoente (derivada de
é
), tenho
Substituindo
, obtemos
Passo 4
Agora calculo
. Primeiro reescrevo os termos como potências para aplicar a regra
:
Derivando termo a termo:
Logo
Passo 5
Agora aplico a regra da cadeia combinando
com
:
Essa é uma forma correta da derivada; vou simplificar um pouco para ficar mais elegante e fácil de usar na prova.
Passo 6
Factorizo
para simplificar: extraio
de
:
Substituindo em
obtemos a forma simplificada