Obtenha a derivada de cada função a seguir:
f(x)=\left(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}+1\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a derivada da função
f(x)=\left(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}+1\right)^{3}.
Informações dadas que vamos usar: a expressão explícita de f(x) e que ela é uma composição de funções (uma expressão dentro de um expoente). A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Identificar as funções interior e exterior da composição (isto é só para organizar): seja
g(x)=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}+1
e
h(u)=u^{3},
de modo que f(x)=h(g(x)). Vou usar a regra da cadeia: se f(x)=h(g(x)) então
f'(x)=h'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Aqui h' é a derivada de h em relação à sua variável u, e g' é a derivada de g em relação a x.

Passo 3

Derivo a função exterior h(u)=u^{3}. Pela regra do expoente (derivada de u^{n} é n u^{n-1}), tenho
h'(u)=3u^{2}.
Substituindo u=g(x), obtemos
h'\big(g(x)\big)=3\big(g(x)\big)^{2}=3\left(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}+1\right)^{2}.

Passo 4

Agora calculo g'(x). Primeiro reescrevo os termos como potências para aplicar a regra \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}:
\frac{1}{x^{2}}=x^{-2},\qquad \frac{1}{x}=x^{-1},\qquad 1=1.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\big(x^{-2}\big)=-2x^{-3},\qquad \frac{d}{dx}\big(x^{-1}\big)=-1x^{-2},\qquad \frac{d}{dx}(1)=0.
Logo
g'(x)=-2x^{-3}-x^{-2}=-\frac{2}{x^{3}}-\frac{1}{x^{2}}.

Passo 5

Agora aplico a regra da cadeia combinando h'\big(g(x)\big) com g'(x):
f'(x)=3\left(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}+1\right)^{2}\cdot\left(-\frac{2}{x^{3}}-\frac{1}{x^{2}}\right).
Essa é uma forma correta da derivada; vou simplificar um pouco para ficar mais elegante e fácil de usar na prova.

Passo 6

Factorizo g'(x) para simplificar: extraio -x^{-3} de -2x^{-3}-x^{-2}:
-2x^{-3}-x^{-2}=-x^{-3}(2+x)=-\frac{2+x}{x^{3}}.
Substituindo em f'(x) obtemos a forma simplificada
f'(x)=-3\frac{2+x}{x^{3}}\left(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}+1\right)^{2}.

Resposta

f'(x)=-3\frac{2+x}{x^{3}}\left(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}+1\right)^{2}

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