Obtenha a derivada de cada função a seguir:
f(x)=\frac{x-1}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede para obter a derivada da função \displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x-2}.
Informações relevantes dadas: a função é uma razão de duas funções lineares; o ponto x=2 anula o denominador, portanto x\neq2 é excluído do domínio.

Passo 2

Vamos usar a regra do quociente para derivar uma função da forma \displaystyle \frac{u(x)}{v(x)}. A regra do quociente diz:
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u(x) é o numerador, v(x) é o denominador, u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v respectivamente, e v^{2} significa (v(x))^{2}. A razão dessa fórmula é combinar a regra do produto com a derivada da função inversa; não precisa decorar o porquê agora, só use-a passo a passo.

Passo 3

Identificamos u e v:
u(x)=x-1,\qquad v(x)=x-2.
Derivadas de funções lineares são fáceis: a derivada de x é 1 e a de uma constante é 0. Assim
u'(x)=1,\qquad v'(x)=1.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{1\cdot(x-2)-(x-1)\cdot 1}{(x-2)^{2}}.

Passo 5

Simplificamos o numerador passo a passo:
1\cdot(x-2)=x-2,
(x-1)\cdot 1=x-1,
x-2-(x-1)=x-2-x+1=-1.
Portanto a expressão fica
f'(x)=\frac{-1}{(x-2)^{2}}.

Passo 6

Comentário final e domínio: a derivada \displaystyle f'(x)=-\frac{1}{(x-2)^{2}} está definida para todos os x tais que x\neq2, porque em x=2 o denominador (x-2)^{2} se anula.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{(x-2)^{2}}

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