Obtenha a derivada de cada função a seguir:
f(x)=5 \operatorname{sen} x+2 \cos (3 x)-4

Passo 1

O enunciado pede para obter a derivada da função
f(x)=5\operatorname{sen} x + 2\cos(3x) - 4.
Informações dadas que vamos usar: os três termos que compõem f(x) são \,5\operatorname{sen} x, \,2\cos(3x) e -4. A resposta deve ser a função derivada f'(x).

Passo 2

Regra básica que vamos aplicar primeiro: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
f(x)=u(x)+v(x)+w(x),
então
f'(x)=u'(x)+v'(x)+w'(x).
Também usaremos que uma constante multiplicando uma função sai como fator na derivada:
\big(a\cdot g(x)\big)'=a\cdot g'(x),
onde a é uma constante.

Passo 3

Lembrete das derivadas das funções trigonométricas básicas que vamos precisar (aqui explico devagar, como num macete de prova):
\big(\operatorname{sen} x\big)'=\cos x,
ou seja, a derivada de \operatorname{sen} x é \cos x.
\big(\cos x\big)'=-\operatorname{sen} x,
ou seja, a derivada de \cos x é -\operatorname{sen} x.
Essas duas fórmulas são fundamentais e costumam cair muito em prova — decora como par: sen → cos, cos → -sen.

Passo 4

Aplicando a linearidade (Passo 2) à nossa função, vamos derivar termo a termo:
f'(x)=\big(5\operatorname{sen} x\big)'+\big(2\cos(3x)\big)'+(-4)'.
Agora vamos calcular cada parcela separadamente.

Passo 5

Derivada do primeiro termo \,5\operatorname{sen} x. Pela regra do fator constante:
\big(5\operatorname{sen} x\big)'=5\cdot\big(\operatorname{sen} x\big)'.
Usando a fórmula do Passo 3 temos \big(\operatorname{sen} x\big)'=\cos x. Portanto
\big(5\operatorname{sen} x\big)'=5\cos x.

Passo 6

Derivada do segundo termo \,2\cos(3x). Aqui precisamos do mesmo fator constante e da regra da cadeia, porque temos uma composição \cos(3x)=\cos\big(h(x)\big) com h(x)=3x.
Regra da cadeia (explicando devagar): se temos uma composição g(h(x)), então
\big(g(h(x))\big)'=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
No nosso caso g(t)=\cos t e h(x)=3x. Então g'(t)=-\operatorname{sen} t e h'(x)=3. Aplicando a regra da cadeia:
\big(\cos(3x)\big)'=-\operatorname{sen}(3x)\cdot 3.
Agora reintroduzimos o fator constante 2:
\big(2\cos(3x)\big)'=2\cdot\big(\cos(3x)\big)'=2\cdot\big(-\operatorname{sen}(3x)\cdot 3\big)=-6\operatorname{sen}(3x).

Passo 7

Derivada do terceiro termo -4. A derivada de uma constante é zero:
(-4)'=0.

Passo 8

Agora somamos as três parcelas que encontramos (conforme Passo 4):
f'(x)=5\cos x + \big(-6\operatorname{sen}(3x)\big) + 0.
Simplificando:
f'(x)=5\cos x -6\operatorname{sen}(3x).

Resposta

f'(x)=5\cos x-6\operatorname{sen}(3x)

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