Obtenha a derivada de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para obter a derivada da função
Informações dadas que vamos usar: os três termos que compõem
são
,
e
. A resposta deve ser a função derivada
.
Passo 2
Regra básica que vamos aplicar primeiro: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então
Também usaremos que uma constante multiplicando uma função sai como fator na derivada:
onde
é uma constante.
Passo 3
Lembrete das derivadas das funções trigonométricas básicas que vamos precisar (aqui explico devagar, como num macete de prova):
ou seja, a derivada de
é
.
ou seja, a derivada de
é
.
Essas duas fórmulas são fundamentais e costumam cair muito em prova — decora como par: sen → cos, cos → -sen.
Essas duas fórmulas são fundamentais e costumam cair muito em prova — decora como par: sen → cos, cos → -sen.
Passo 4
Aplicando a linearidade (Passo 2) à nossa função, vamos derivar termo a termo:
Agora vamos calcular cada parcela separadamente.
Passo 5
Derivada do primeiro termo
. Pela regra do fator constante:
Usando a fórmula do Passo 3 temos
. Portanto
Passo 6
Derivada do segundo termo
. Aqui precisamos do mesmo fator constante e da regra da cadeia, porque temos uma composição
com
.
Regra da cadeia (explicando devagar): se temos uma composição
, então
No nosso caso
e
. Então
e
. Aplicando a regra da cadeia:
Agora reintroduzimos o fator constante
:
Passo 7
Derivada do terceiro termo
. A derivada de uma constante é zero:
Passo 8
Agora somamos as três parcelas que encontramos (conforme Passo 4):
Simplificando: