Obtenha a derivada de cada função a seguir: n) f(x)=x^2 cdot ln x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função f(x)=x^2ln x. O conteúdo principal aqui é derivação de produto de funções e a derivada do logaritmo natural. Vamos usar a regra do produto e o fato de que ddx(ln x)=1x.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as duas funções que compõem o produto: u(x)=x^2 e v(x)=ln x. A regra do produto diz:
ddx[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

Passo 3

Agora, calculemos as derivadas individuais:
u'(x)=ddx(x^2)=2x.
v'(x)=ddx(ln x)=1x.

Passo 4

Aplicando a regra do produto, temos:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2xcdotln x + x^2cdot1x

Passo 5

Por fim, simplificamos o segundo termo:
x^2cdot1x = x
Assim, a derivada fica:
f'(x)=2xln x + x

Resposta

f'(x)=xl(2ln x +1r)

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