Obtenha a derivada de cada função a seguir: v)
Passo 1
O enunciado pede para obter a derivada da função f(x)=3 √x+5 ∛x+10. O conteúdo é derivação de potência, usando a regra que diz que d/dx x^n=n x^{n-1}.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever as raízes como potências fracionárias para aplicar a regra de potência facilmente:
Assim a função fica f(x)=3 x^{1/2}+5 x^{1/3}+10.
Passo 3
Agora aplicamos a regra de potência em cada termo. Para 3 x^{1/2}: derivada é 3·(1/2) x^{1/2-1}=\frac{3}{2} x^{-1/2}.
Para 5 x^{1/3}: derivada é 5·(1/3) x^{1/3-1}=\frac{5}{3} x^{-2/3}.
A derivada de 10, que é uma constante, é zero.
Para 5 x^{1/3}: derivada é 5·(1/3) x^{1/3-1}=\frac{5}{3} x^{-2/3}.
A derivada de 10, que é uma constante, é zero.
Passo 4
Juntando tudo, obtemos:
Passo 5
Se preferir em forma de raiz:
Resposta
f’(x)=\frac{3}{2\sqrt{x}}+\frac{5}{3x^{2/3}}