Obtenha a derivada de cada função a seguir: v) f(x)=3 raizx+5 raiz[3]x+10

Passo 1

O enunciado pede para obter a derivada da função f(x)=3 √x+5 ∛x+10. O conteúdo é derivação de potência, usando a regra que diz que d/dx x^n=n x^{n-1}.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever as raízes como potências fracionárias para aplicar a regra de potência facilmente: √x=x^1/2, ∛x=x^1/3 Assim a função fica f(x)=3 x^{1/2}+5 x^{1/3}+10.

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência em cada termo. Para 3 x^{1/2}: derivada é 3·(1/2) x^{1/2-1}=\frac{3}{2} x^{-1/2}.
Para 5 x^{1/3}: derivada é 5·(1/3) x^{1/3-1}=\frac{5}{3} x^{-2/3}.
A derivada de 10, que é uma constante, é zero.

Passo 4

Juntando tudo, obtemos: f'(x)=32x^-1/2+53x^-2/3

Passo 5

Se preferir em forma de raiz: f'(x)=32raizx+53x^2/3

Resposta

f’(x)=\frac{3}{2\sqrt{x}}+\frac{5}{3x^{2/3}}

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