Nos PVIs abaixo dtermine o maior intervalo no qual as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções de EDOs lineares de 2a ordem é válido. Não é necessário resolver as equações.
lt y prime prime+3 y=t y(1)=1 ; y^prime(1)=2

Passo 1

A gente tem um PVI para uma EDO linear de 2ª ordem: t y'' + 3y = t com as condições iniciais y(1)=1 e y'(1)=2. O que queremos é o maior intervalo onde as hipóteses do teorema de existência e unicidade (continuidade dos coeficientes na forma padrão) valem, sem precisar resolver de fato.

Passo 2

Para usar o teorema, primeiro colocamos a EDO em forma padrão dividindo por t. Em bloco:
y'' + 3t,y = 1
Assim identificamos os coeficientes
p(t)=3/t e g(t)=1.

Passo 3

O teorema exige que p(t) e g(t) sejam contínuos num intervalo aberto que contenha t0=1.
  • g(t)=1 é contínua em todo R.
  • p(t)=3/t falha em t=0, pois não está definida lá.

Passo 4

Portanto, o maior intervalo aberto que contém 1 e evita o ponto singular t=0 é (0,infty).

Resposta

(0, \infty)

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