Obtenha a derivada de cada uma das seguintes funções:
f(x)=\frac{\cos 7 x}{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{\cos(7x)}{x}.
O conteúdo envolve derivadas de funções trigonométricas e a regra do produto (ou quociente). Vamos usar a regra do produto, reescrevendo a parte 1/x como potência.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=\cos(7x)\cdot x^{-1}.
Definimos
u(x)=\cos(7x), \quad v(x)=x^{-1},
e aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
Para u(x)=\cos(7x), pela regra da cadeia,
u'(x)=\frac{d}{dx}[\cos(7x)]=-\,\sin(7x)\cdot7=-7\sin(7x).
Para v(x)=x^{-1}, pela regra da potência,
v'(x)=\frac{d}{dx}[x^{-1}]=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.

Passo 4

Substituindo em f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x), temos
\begin{aligned} f'(x) &=(-7\sin(7x))\cdot x^{-1} +\cos(7x)\cdot(-x^{-2})\\\ &=-\frac{7\sin(7x)}{x} -\frac{\cos(7x)}{x^2}. \end{aligned}

Passo 5

Para simplificar num único quociente, colocamos denominador comum x^2:
f'(x) =-\frac{7x\sin(7x)+\cos(7x)}{x^2}.

Resposta

f'(x)=-\frac{7x\sin(7x)+\cos(7x)}{x^2}.

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