Obtenha a derivada de cada uma das seguintes funções:
f(x)=\frac{1}{\operatorname{arctg}(x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{1}{\operatorname{arctg}(x)}.
Informações dadas: a função é escrita como o inverso de \operatorname{arctg}(x). A função \operatorname{arctg}(x) (arctangente) está definida para todo x\in\mathbb{R} e \operatorname{arctg}(0)=0. A tarefa é calcular f'(x) (a derivada de f em termos de x).

Passo 2

Escolhemos reescrever a função de forma que possamos aplicar a regra da cadeia e a regra da potência de forma direta:
f(x)=\bigl(\operatorname{arctg}(x)\bigr)^{-1}.
Agora precisamos lembrar duas coisas importantes (vou explicar devagar, como se estivéssemos lado a lado na prova):
  • Regra da potência (caso composto): se g(x) é uma função diferenciável e temos h(x)=\bigl(g(x)\bigr)^n com n constante, então, pela regra da cadeia,
h'(x)=n\bigl(g(x)\bigr)^{n-1}\cdot g'(x).
Aqui g'(x) é a derivada da função interna g.
  • Derivada da arctangente: se y=\operatorname{arctg}(x), então x=\tan(y). Diferenciando ambos os lados em relação a x (tratando y como função de x) obtemos
1=\operatorname{sec}^2(y)\,y',
ou seja
y'=\frac{1}{\operatorname{sec}^2(y)}.
Usando \operatorname{sec}^2(y)=1+\tan^2(y) e \tan(y)=x, concluímos
\bigl(\operatorname{arctg}(x)\bigr)'=\frac{1}{1+x^2}.

Passo 3

Aplicamos a regra da potência com n=-1 e g(x)=\operatorname{arctg}(x). Pela fórmula da regra da cadeia:
f'(x) = -1\cdot\bigl(\operatorname{arctg}(x)\bigr)^{-2}\cdot\bigl(\operatorname{arctg}(x)\bigr)'.

Passo 4

Agora substituímos a derivada de \operatorname{arctg}(x) que vimos no Passo 2:
\bigl(\operatorname{arctg}(x)\bigr)'=\frac{1}{1+x^2}.
Logo
f'(x) = -\bigl(\operatorname{arctg}(x)\bigr)^{-2}\cdot\frac{1}{1+x^2}.

Passo 5

Colocando tudo num único quociente e simplificando a notação de potência negativa:
f'(x) = -\frac{1}{(1+x^2)\bigl(\operatorname{arctg}(x)\bigr)^2}.
Observação importante sobre domínio: a fórmula acima só faz sentido quando \operatorname{arctg}(x)\neq 0, porque temos \bigl(\operatorname{arctg}(x)\bigr)^2 no denominador. Como \operatorname{arctg}(0)=0, a derivada não existe em x=0. Para todo outro x\in\mathbb{R}\setminus\{0\} a expressão é válida.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{(1+x^2)\bigl(\operatorname{arctg}(x)\bigr)^2}
Domínio da derivada: x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.

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