Obtenha a derivada de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas: a função é escrita como o inverso de
. A função
(arctangente) está definida para todo
e
. A tarefa é calcular
(a derivada de
em termos de
).
Passo 2
Escolhemos reescrever a função de forma que possamos aplicar a regra da cadeia e a regra da potência de forma direta:
Agora precisamos lembrar duas coisas importantes (vou explicar devagar, como se estivéssemos lado a lado na prova):
- Regra da potência (caso composto): se
é uma função diferenciável e temos com constante, então, pela regra da cadeia,
Aqui
é a derivada da função interna
.
- Derivada da arctangente: se
, então . Diferenciando ambos os lados em relação a (tratando como função de ) obtemos
ou seja
Usando
e
, concluímos
Passo 3
Aplicamos a regra da potência com
e
. Pela fórmula da regra da cadeia:
Passo 4
Agora substituímos a derivada de
que vimos no Passo 2:
Logo
Passo 5
Colocando tudo num único quociente e simplificando a notação de potência negativa:
Observação importante sobre domínio: a fórmula acima só faz sentido quando
, porque temos
no denominador. Como
, a derivada não existe em
. Para todo outro
a expressão é válida.
Resposta
Domínio da derivada:
.