Obtenha a derivada de cada uma das seguintes funções:
f(x)=\left(e^{x}\right)^{\operatorname{tg}(3 x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\left(e^{x}\right)^{\operatorname{tg}(3x)}.
Informações dadas: a função é dada explicitamente por \left(e^{x}\right)^{\operatorname{tg}(3x)}. Não há outras condições ou restrições no enunciado. O objetivo é encontrar f'(x).

Passo 2

Primeira ideia prática: simplificar a expressão antes de derivar. Lembre que para qualquer número real a>0 e qualquer função u(x) vale (a^{v(x)})^{u(x)}=a^{v(x)u(x)}. Aqui a=e e v(x)=x, u(x)=\operatorname{tg}(3x). Portanto podemos reescrever
f(x)=e^{\,x\operatorname{tg}(3x)}.
Isso já deixa a forma perfeita para usar a regra de derivação de exponencial composta.

Passo 3

Regra usada agora (explicação didática): a derivada da função x\mapsto e^{g(x)} é dada por
\frac{d}{dx}e^{g(x)}=e^{g(x)}\cdot g'(x).
Isto é uma aplicação direta da regra da cadeia: a derivada do exponencial e^{u} em relação a u é e^{u}, então multiplica-se pela derivada de u=g(x). Vou aplicar isso com g(x)=x\operatorname{tg}(3x).

Passo 4

Precisamos calcular g'(x) com g(x)=x\operatorname{tg}(3x). Aqui usa-se a regra do produto: se g(x)=u(x)v(x) então
g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
No nosso caso escolhemos u(x)=x e v(x)=\operatorname{tg}(3x). Então u'(x)=1 e precisamos de v'(x).

Passo 5

Derivada de \operatorname{tg}(3x): primeiro lembre que a derivada de \tan(z) em relação a z é \operatorname{sec}^{2}(z) (ou 1/\cos^{2}(z)). Aplicando a regra da cadeia para o argumento 3x, obtemos
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}(3x)=\operatorname{sec}^{2}(3x)\cdot\frac{d}{dx}(3x)=\operatorname{sec}^{2}(3x)\cdot 3.
Ou seja,
v'(x)=3\operatorname{sec}^{2}(3x).

Passo 6

Agora volte ao produto: com u'(x)=1, v(x)=\operatorname{tg}(3x) e v'(x)=3\operatorname{sec}^{2}(3x), temos
g'(x)=1\cdot\operatorname{tg}(3x)+x\cdot 3\operatorname{sec}^{2}(3x).
Portanto
g'(x)=\operatorname{tg}(3x)+3x\operatorname{sec}^{2}(3x).

Passo 7

Aplicando a fórmula da derivada do exponencial composta (Passo 3), a derivada de f é
f'(x)=e^{x\operatorname{tg}(3x)}\cdot\big(\operatorname{tg}(3x)+3x\operatorname{sec}^{2}(3x)\big).
Se preferir escrever em termos da função original, lembrando que e^{x\operatorname{tg}(3x)}=\left(e^{x}\right)^{\operatorname{tg}(3x)}, então
f'(x)=\left(e^{x}\right)^{\operatorname{tg}(3x)}\big(\operatorname{tg}(3x)+3x\operatorname{sec}^{2}(3x)\big).

Passo 8

Resumo prático para a prova: reescreva primeiro \left(e^{x}\right)^{\operatorname{tg}(3x)} como e^{x\operatorname{tg}(3x)}, depois use derivada de e^{g(x)} multiplicada por g'(x). Para g'(x) aplique produto e cadeia (derivada de \tan é \operatorname{sec}^2, e derivada de 3x é 3).

Resposta

f'(x)=e^{x\operatorname{tg}(3x)}\big(\operatorname{tg}(3x)+3x\operatorname{sec}^{2}(3x)\big).

Exercícios relacionados