Obtenha a derivada de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: "Obtenha a derivada de cada uma das seguintes funções:
".
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é
. - Implicitamente, o domínio natural onde tudo faz sentido é
(porque aparece ).
A partir daqui vamos calcularpasso a passo.
Passo 2
Primeiro vamos identificar a estrutura da função para escolher a ferramenta correta:
é uma composição de duas funções — a função exterior
aplicada à função interior
. Quando temos uma composição
, usamos a regra da cadeia para derivar. A regra da cadeia, em palavras simples, diz: derive a função externa em relação à variável interna e multiplique pelo derivado da função interna. Em fórmula:
Aqui
significa a derivada de
em relação a
, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos aplicar a identificação explícita:
portanto
. Segundo a regra da cadeia,
Agora precisamos calcular separadamente
e
.
Passo 4
Derivada da função interior:
. A derivada bem conhecida (e fácil de lembrar) é
válida para
. Explicando rápido: a função
tem taxa de variação igual a
porque é a primitiva inversa da função exponencial; em provas é comum memorizar
.
Passo 5
Derivada da função exterior:
. Vamos obter
. Uma forma didática é usar diferenciação implícita. Seja
. Isso significa
. Diferenciando ambos os lados em relação a
(tratando
como função de
) obtemos:
Como
e
, temos
Mas
e
, então
Portanto
Passo 6
Agora juntamos tudo pela regra da cadeia:
Lembrando que
, substituímos:
Passo 7
Simplificando a expressão (colocando tudo em um único quociente) obtemos
E lembrando a condição de existência: essa derivada é válida para
, que é o domínio natural da função dada.