Obtenha a derivada de cada uma das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{arctg}(\ln (x))

Passo 1

O enunciado pede: "Obtenha a derivada de cada uma das seguintes funções: f(x)=\operatorname{arctg}(\ln (x))".
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é f(x)=\operatorname{arctg}(\ln(x)).
  • Implicitamente, o domínio natural onde tudo faz sentido é x>0 (porque aparece \ln(x)).
    A partir daqui vamos calcular f'(x) passo a passo.

Passo 2

Primeiro vamos identificar a estrutura da função para escolher a ferramenta correta: f(x) é uma composição de duas funções — a função exterior G(u)=\operatorname{arctg}(u) aplicada à função interior u(x)=\ln(x). Quando temos uma composição f(x)=G(u(x)), usamos a regra da cadeia para derivar. A regra da cadeia, em palavras simples, diz: derive a função externa em relação à variável interna e multiplique pelo derivado da função interna. Em fórmula:
\text{se } f(x)=G(u(x)) \text{ então } f'(x)=G'(u(x))\cdot u'(x).ã
Aqui G'(u) significa a derivada de G em relação a u, e u'(x) é a derivada de u em relação a x.

Passo 3

Vamos aplicar a identificação explícita:
u(x)=\ln(x),\qquad G(u)=\operatorname{arctg}(u),
portanto f(x)=G(u(x)). Segundo a regra da cadeia,
f'(x)=G'(u(x))\cdot u'(x).
Agora precisamos calcular separadamente u'(x) e G'(u).

Passo 4

Derivada da função interior: u(x)=\ln(x). A derivada bem conhecida (e fácil de lembrar) é
u'(x)=\frac{1}{x},
válida para x>0. Explicando rápido: a função \ln(x) tem taxa de variação igual a 1/x porque é a primitiva inversa da função exponencial; em provas é comum memorizar \dfrac{d}{dx}\ln(x)=\dfrac{1}{x}.

Passo 5

Derivada da função exterior: G(u)=\operatorname{arctg}(u). Vamos obter G'(u). Uma forma didática é usar diferenciação implícita. Seja y=\operatorname{arctg}(u). Isso significa \tan(y)=u. Diferenciando ambos os lados em relação a u (tratando y como função de u) obtemos:
\frac{d}{du}\big(\tan(y)\big)\cdot\frac{dy}{du}=\frac{d}{du}(u).
Como \dfrac{d}{du}\tan(y)=\operatorname{sec}^2(y) e \dfrac{d}{du}(u)=1, temos
\operatorname{sec}^2(y)\cdot\frac{dy}{du}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{du}=\frac{1}{\operatorname{sec}^2(y)}.
Mas \operatorname{sec}^2(y)=1+\tan^2(y) e \tan(y)=u, então
G'(u)=\frac{dy}{du}=\frac{1}{1+u^2}.
Portanto
\frac{d}{du}\operatorname{arctg}(u)=\frac{1}{1+u^2}.

Passo 6

Agora juntamos tudo pela regra da cadeia:
f'(x)=G'(u(x))\cdot u'(x)=\frac{1}{1+\big(u(x)\big)^2}\cdot \frac{1}{x}.
Lembrando que u(x)=\ln(x), substituímos:
f'(x)=\frac{1}{1+\big(\ln(x)\big)^2}\cdot\frac{1}{x}.

Passo 7

Simplificando a expressão (colocando tudo em um único quociente) obtemos
f'(x)=\frac{1}{x\big(1+(\ln(x))^{2}\big)}.
E lembrando a condição de existência: essa derivada é válida para x>0, que é o domínio natural da função dada.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{x\big(1+(\ln(x))^{2}\big)},\quad x>0

Exercícios relacionados