Obtenha a derivada de cada uma das seguintes funções:
f(x)=\frac{\sqrt[3]{x}}{\operatorname{arcsen}(x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{\sqrt[3]{x}}{\operatorname{arcsen}(x)}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função no numerador é \sqrt[3]{x}.
  • A função no denominador é \operatorname{arcsen}(x) (arco seno de x).
  • O domínio onde ambas as partes estão definidas e a divisão faz sentido é -1<x<1 com x\neq 0 (pois \operatorname{arcsen}(0)=0 e não podemos dividir por zero).
  • Nosso objetivo: calcular f'(x) para x em (-1,0)\cup(0,1).

Passo 2

Escolha do método e fórmula que vamos usar:
  • Como f(x) é uma razão de duas funções, vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que, se u(x) e v(x) são diferenciáveis e v(x)\neq 0, então
\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{(v(x))^2}.
Aqui vamos tomar
u(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3},\qquad v(x)=\operatorname{arcsen}(x).
Antes de aplicar a regra do quociente, precisamos das derivadas u'(x) e v'(x).

Passo 3

Derivada de u(x)=x^{1/3} (regra da potência):
  • A regra da potência diz que, para n constante, \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Aplicando com n=\tfrac{1}{3}:
u'(x)=\frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}x^{-2/3}.
  • Podemos reescrever x^{-2/3} em radical como
u'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}.
(Observação: \sqrt[3]{x^{2}}=(\sqrt[3]{x})^{2}.)

Passo 4

Derivada de v(x)=\operatorname{arcsen}(x):
  • Uma maneira didática de obter a derivada é usar diferenciação implícita. Seja y=\operatorname{arcsen}(x). Então \sin y = x.
  • Diferenciando ambos os lados em relação a x: \cos y\cdot \dfrac{dy}{dx}=1.
  • Então \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\cos y}.
  • Como \cos y=\sqrt{1-\sin^{2}y}=\sqrt{1-x^{2}} (usando \sin y = x e tomamos a raiz positiva para |x|<1), obtemos
v'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{arcsen}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do quociente com os u,u',v,v' encontrados:
  • Substituindo:
u(x)=\sqrt[3]{x},\quad u'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}},\quad v(x)=\operatorname{arcsen}(x),\quad v'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
  • Pela regra do quociente,
f'(x)=\frac{\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}\,\operatorname{arcsen}(x)\;-\;\sqrt[3]{x}\,\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}}{(\operatorname{arcsen}(x))^{2}}.

Passo 6

Simplificação algébrica do numerador para deixar a expressão mais elegante:
  • Escrevemos o numerador como
N(x)=\frac{\operatorname{arcsen}(x)}{3\sqrt[3]{x^{2}}}-\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{1-x^{2}}}.
  • Vamos colocar N(x) sobre um denominador comum 3\sqrt[3]{x^{2}}\sqrt{1-x^{2}}:
    • O primeiro termo passa a ser \dfrac{\operatorname{arcsen}(x)\sqrt{1-x^{2}}}{3\sqrt[3]{x^{2}}\sqrt{1-x^{2}}}.
    • O segundo termo igual a \dfrac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{1-x^{2}}} multiplica numerador e denominador por 3\sqrt[3]{x^{2}} e fica \frac{3\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{x^{2}}}{3\sqrt[3]{x^{2}}\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{3x}{3\sqrt[3]{x^{2}}\sqrt{1-x^{2}}}porque \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{x^{2}}=\sqrt[3]{x^{3}}=x.
  • Portanto o numerador combinado é
N(x)=\frac{\operatorname{arcsen}(x)\sqrt{1-x^{2}}-3x}{3\sqrt[3]{x^{2}}\sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 7

Colocando tudo junto para f'(x):
  • Lembrando que o denominador da regra do quociente é (\operatorname{arcsen}(x))^{2}, temos
f'(x)=\frac{N(x)}{(\operatorname{arcsen}(x))^{2}} =\frac{\operatorname{arcsen}(x)\sqrt{1-x^{2}}-3x}{3\sqrt[3]{x^{2}}\sqrt{1-x^{2}}\;(\operatorname{arcsen}(x))^{2}}.
  • Esta é uma forma simplificada e adequada para a derivada, válida para x\in(-1,0)\cup(0,1).

Resposta

f'(x)=\frac{\operatorname{arcsen}(x)\sqrt{1-x^{2}}-3x}{3\sqrt[3]{x^{2}}\sqrt{1-x^{2}}\;(\operatorname{arcsen}(x))^{2}}

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