Obtenha a derivada de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas e observações iniciais:
- A função no numerador é
. - A função no denominador é
(arco seno de ). - O domínio onde ambas as partes estão definidas e a divisão faz sentido é
com (pois e não podemos dividir por zero). - Nosso objetivo: calcular
para em .
Passo 2
Escolha do método e fórmula que vamos usar:
- Como
é uma razão de duas funções, vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que, se e são diferenciáveis e , então
Aqui vamos tomar
Antes de aplicar a regra do quociente, precisamos das derivadas
e
.
Passo 3
Derivada de
(regra da potência):
- A regra da potência diz que, para
constante, . - Aplicando com
:
- Podemos reescrever
em radical como
(Observação:
.)
Passo 4
Derivada de
:
- Uma maneira didática de obter a derivada é usar diferenciação implícita. Seja
. Então . - Diferenciando ambos os lados em relação a
: . - Então
. - Como
(usando e tomamos a raiz positiva para ), obtemos
Passo 5
Agora aplicamos a regra do quociente com os
encontrados:
- Substituindo:
- Pela regra do quociente,
Passo 6
Simplificação algébrica do numerador para deixar a expressão mais elegante:
- Escrevemos o numerador como
- Vamos colocar
sobre um denominador comum : - O primeiro termo passa a ser
. - O segundo termo igual a
multiplica numerador e denominador por e fica porque .
- O primeiro termo passa a ser
- Portanto o numerador combinado é
Passo 7
Colocando tudo junto para
:
- Lembrando que o denominador da regra do quociente é
, temos
- Esta é uma forma simplificada e adequada para a derivada, válida para
.