Obtenha a derivada de cada uma das seguintes funções:
f(x)=x \operatorname{arcsen}\left(x^{2}\right)-e^{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x\operatorname{arcsen}\bigl(x^{2}\bigr)-e^{x^{3}}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\;1.\ a função é composta por duas parcelas: a primeira é um produto x\cdot \operatorname{arcsen}(x^{2}) e a segunda é a exponencial e^{x^{3}} com sinal negativo;
\;2.\ a função \operatorname{arcsen}(u) (arcseno) tem derivada conhecida em termos de u (veremos a fórmula) e seu argumento aqui é u=x^{2};
\;3.\ o domínio natural para \operatorname{arcsen}(x^{2}) exige |x^{2}|\le 1, ou seja |x|\le 1 — isso indica onde a função está definida no sentido clássico, e a derivada só faz sentido ponto a ponto dentro do domínio apropriado (mais sobre isso depois).
O que se pede: calcular f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Vamos lembrar duas regras de diferenciação essenciais (com explicação como se fosse uma receita simples):
Regra do produto — se temos \;g(x)=u(x)\,v(x), então a derivada é dada por
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u(x) e v(x) são as duas funções que estão sendo multiplicadas; u'(x) é a derivada de u e v'(x) a derivada de v. Intuitivamente, a regra diz que derivamos uma parte de cada vez e somamos os efeitos.
Regra da cadeia — se temos uma função composta \;h(x)=\varphi(\psi(x)), então
h'(x)=\varphi'\bigl(\psi(x)\bigr)\cdot \psi'(x).
Aqui \varphi é a função externa e \psi a função interna; a derivada de toda a composição é a derivada da externa avaliada na interna, vezes a derivada da interna. Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Aplique a regra do produto à primeira parcela \;x\operatorname{arcsen}(x^{2}). Identifico
\;u(x)=x e \;v(x)=\operatorname{arcsen}(x^{2}). Pela regra do produto,
\frac{d}{dx}\bigl[x\operatorname{arcsen}(x^{2})\bigr]=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Como u'(x)=\dfrac{d}{dx}x=1, a primeira parte dá simplesmente \operatorname{arcsen}(x^{2}). Resta calcular v'(x)=\dfrac{d}{dx}\operatorname{arcsen}(x^{2}).

Passo 4

Agora uso a regra da cadeia para v(x)=\operatorname{arcsen}(x^{2}). Aqui a função externa é \varphi(t)=\operatorname{arcsen}(t) e a interna é \psi(x)=x^{2}. A fórmula geral da derivada do arcseno é (fórmula padrão):
\frac{d}{dt}\operatorname{arcsen}(t)=\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}},\qquad\text{para }|t|<1.
Explicando: se t é o argumento do arcseno, sua derivada é 1/\sqrt{1-t^{2}}. Agora aplico a cadeia substituindo t=\psi(x)=x^{2}.

Passo 5

Calcule a derivada da interna \psi(x)=x^{2}: temos \psi'(x)=2x. Usando a regra da cadeia,
v'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{arcsen}\bigl(x^{2}\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1-\bigl(x^{2}\bigr)^{2}}}\cdot 2x.
Simplificando \bigl(x^{2}\bigr)^{2}=x^{4}, obtemos
v'(x)=\frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}.

Passo 6

Volto à derivada do produto do Passo 3 e substituo v'(x). Assim
\frac{d}{dx}\bigl[x\operatorname{arcsen}(x^{2})\bigr]=\operatorname{arcsen}\bigl(x^{2}\bigr)+x\cdot\frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}.
Multiplicando x por 2x 2x^{2}, portanto
\frac{d}{dx}\bigl[x\operatorname{arcsen}(x^{2})\bigr]=\operatorname{arcsen}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{2x^{2}}{\sqrt{1-x^{4}}}.

Passo 7

Agora a segunda parcela -e^{x^{3}}. Novamente uso a regra da cadeia: a exponencial \exp(t) tem derivada \exp(t). Se t=v(x)=x^{3}, então
\frac{d}{dx}e^{x^{3}}=e^{x^{3}}\cdot \frac{d}{dx}(x^{3})=e^{x^{3}}\cdot 3x^{2}=3x^{2}e^{x^{3}}.
Como na função original esse termo aparece com sinal negativo, a derivada é -3x^{2}e^{x^{3}}.

Passo 8

Somando as derivadas das duas parcelas (primeira parcela do Passo 6 e segunda do Passo 7), obtemos a derivada total f'(x):
f'(x)=\operatorname{arcsen}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{2x^{2}}{\sqrt{1-x^{4}}}-3x^{2}e^{x^{3}}.
Observação sobre domínio: a fórmula acima é válida para pontos onde as expressões fazem sentido — em particular \operatorname{arcsen}(x^{2}) exige |x|\le 1 e a raiz \sqrt{1-x^{4}} exige 1-x^{4}>0 para que não haja singularidade no denominador; nos pontos em que 1-x^{4}=0 (ou seja x=\pm 1) a derivada por essa expressão tende a infinito, então esses pontos devem ser tratados com cuidado. Mas a manipulação algébrica acima está correta para os x em que tudo é definido.

Resposta

f'(x)=\operatorname{arcsen}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{2x^{2}}{\sqrt{1-x^{4}}}-3x^{2}e^{x^{3}}.

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