Obtenha a derivada de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações relevantes que o enunciado dá:
\ a função é composta por duas parcelas: a primeira é um produto
e a segunda é a exponencial
com sinal negativo;
\ a função
(arcseno) tem derivada conhecida em termos de
(veremos a fórmula) e seu argumento aqui é
;
\ o domínio natural para
exige
, ou seja
— isso indica onde a função está definida no sentido clássico, e a derivada só faz sentido ponto a ponto dentro do domínio apropriado (mais sobre isso depois).
O que se pede: calcular , a derivada de
em termos de
.
O que se pede: calcular
Passo 2
Vamos lembrar duas regras de diferenciação essenciais (com explicação como se fosse uma receita simples):
Regra do produto — se temos , então a derivada é dada por
Regra do produto — se temos
Aqui
e
são as duas funções que estão sendo multiplicadas;
é a derivada de
e
a derivada de
. Intuitivamente, a regra diz que derivamos uma parte de cada vez e somamos os efeitos.
Regra da cadeia — se temos uma função composta
, então
Aqui
é a função externa e
a função interna; a derivada de toda a composição é a derivada da externa avaliada na interna, vezes a derivada da interna. Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Aplique a regra do produto à primeira parcela
. Identifico
e
. Pela regra do produto,
Como
, a primeira parte dá simplesmente
. Resta calcular
.
Passo 4
Agora uso a regra da cadeia para
. Aqui a função externa é
e a interna é
. A fórmula geral da derivada do arcseno é (fórmula padrão):
Explicando: se
é o argumento do arcseno, sua derivada é
. Agora aplico a cadeia substituindo
.
Passo 5
Calcule a derivada da interna
: temos
. Usando a regra da cadeia,
Simplificando
, obtemos
Passo 6
Volto à derivada do produto do Passo 3 e substituo
. Assim
Multiplicando
por
dá
, portanto
Passo 7
Agora a segunda parcela
. Novamente uso a regra da cadeia: a exponencial
tem derivada
. Se
, então
Como na função original esse termo aparece com sinal negativo, a derivada é
.
Passo 8
Somando as derivadas das duas parcelas (primeira parcela do Passo 6 e segunda do Passo 7), obtemos a derivada total
:
Observação sobre domínio: a fórmula acima é válida para pontos onde as expressões fazem sentido — em particular
exige
e a raiz
exige
para que não haja singularidade no denominador; nos pontos em que
(ou seja
) a derivada por essa expressão tende a infinito, então esses pontos devem ser tratados com cuidado. Mas a manipulação algébrica acima está correta para os
em que tudo é definido.