Obtenha a derivada de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O que o problema pede: calcular a derivada de
Informações dadas e domínio relevante:
- A função envolve
e . - Essas funções estão definidas (no sentido real) para
; portanto, a derivada será considerada nesse intervalo. - Não há outras condições adicionais no enunciado.
Passo 2
Relembrando regras de derivação que vamos usar (explicando bem, passo a passo):
- Regra do produto: se
e são funções diferenciáveis, então
Isto significa: derivo uma das funções (mantendo a outra fixa) e somo com o caso oposto.
- Regra da cadeia: se
, então
Ou seja, derivo a função externa
em relação à sua variável interna e multiplico pela derivada da função interna
.
- Derivadas das funções trigonométricas inversas usadas aqui:
Explicação rápida: essas fórmulas decorrem da regra da cadeia aplicada às funções seno e cosseno e da identidade
(analogamente para cosseno), resolvendo para a derivada.
Passo 3
Identificamos as partes para aplicar a regra do produto. Defina
Vamos calcular
e
separadamente.
Calcular
: aqui temos uma constante
multiplicando uma composição
. Use a regra da cadeia e a regra da potência:
- Regra da potência: se
, então .
Aplicando com,
- Agora usamos
.
Portanto
Multiplicando pela constante
que estava em
, obtemos
Passo 4
Calcular
: já temos a fórmula direta:
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
,
,
e
:
Agora vamos organizar e fatorar para ficar mais legível. Ambas parcelas têm fator comum
, então:
Passo 6
Podemos ainda fatorar
se quisermos uma forma alternativa mais compacta:
Ambas as formas são equivalentes; ficam válidas para
.