Obtenha a derivada de cada uma das seguintes funções:
f(x)=\frac{1}{2}(\operatorname{arcsen}(x))^{2} \operatorname{arccos} (x)

Passo 1

O que o problema pede: calcular a derivada de
f(x)=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{arcsen}(x)\big)^{2}\,\operatorname{arccos}(x).
Informações dadas e domínio relevante:
  • A função envolve \operatorname{arcsen}(x) e \operatorname{arccos}(x).
  • Essas funções estão definidas (no sentido real) para -1<x<1; portanto, a derivada será considerada nesse intervalo.
  • Não há outras condições adicionais no enunciado.

Passo 2

Relembrando regras de derivação que vamos usar (explicando bem, passo a passo):
  1. Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Isto significa: derivo uma das funções (mantendo a outra fixa) e somo com o caso oposto.
  1. Regra da cadeia: se g(x)=h(k(x)), então
g'(x)=h'(k(x))\cdot k'(x).
Ou seja, derivo a função externa h em relação à sua variável interna e multiplico pela derivada da função interna k(x).
  1. Derivadas das funções trigonométricas inversas usadas aqui:
\frac{d}{dx}\operatorname{arcsen}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},\qquad \frac{d}{dx}\operatorname{arccos}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Explicação rápida: essas fórmulas decorrem da regra da cadeia aplicada às funções seno e cosseno e da identidade \sin(\operatorname{arcsin}(x))=x (analogamente para cosseno), resolvendo para a derivada.

Passo 3

Identificamos as partes para aplicar a regra do produto. Defina
u(x)=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{arcsen}(x)\big)^{2},\qquad v(x)=\operatorname{arccos}(x).
Vamos calcular u'(x) e v'(x) separadamente.
Calcular u'(x): aqui temos uma constante \tfrac{1}{2} multiplicando uma composição (\operatorname{arcsen}(x))^{2}. Use a regra da cadeia e a regra da potência:
  • Regra da potência: se w(x)=(g(x))^{2}, então w'(x)=2\,g(x)\,g'(x).
    Aplicando com g(x)=\operatorname{arcsen}(x),
\frac{d}{dx}\big((\operatorname{arcsen}(x))^{2}\big)=2\operatorname{arcsen}(x)\cdot\frac{d}{dx}\operatorname{arcsen}(x).
  • Agora usamos \frac{d}{dx}\operatorname{arcsen}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
    Portanto
\frac{d}{dx}\big((\operatorname{arcsen}(x))^{2}\big)=2\operatorname{arcsen}(x)\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Multiplicando pela constante \tfrac{1}{2} que estava em u(x), obtemos
u'(x)=\tfrac{1}{2}\cdot 2\operatorname{arcsen}(x)\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} =\frac{\operatorname{arcsen}(x)}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 4

Calcular v'(x): já temos a fórmula direta:
v'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{arccos}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u'(x), u(x), v(x) e v'(x):
f'(x)=\frac{\operatorname{arcsen}(x)}{\sqrt{1-x^{2}}}\cdot\operatorname{arccos}(x) +\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{arcsen}(x)\big)^{2}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right).
Agora vamos organizar e fatorar para ficar mais legível. Ambas parcelas têm fator comum \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}, então:
f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\left(\operatorname{arcsen}(x)\operatorname{arccos}(x) -\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{arcsen}(x)\big)^{2}\right).

Passo 6

Podemos ainda fatorar \operatorname{arcsen}(x) se quisermos uma forma alternativa mais compacta:
f'(x)=\frac{\operatorname{arcsen}(x)}{\sqrt{1-x^{2}}}\left(\operatorname{arccos}(x)-\tfrac{1}{2}\operatorname{arcsen}(x)\right).
Ambas as formas são equivalentes; ficam válidas para -1<x<1.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\!\left(\operatorname{arcsen}(x)\operatorname{arccos}(x)-\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{arcsen}(x)\big)^{2}\right)

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