Obtenha a derivada de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
definida por
.\n
Informações dadas e o que se pede:
Informações dadas e o que se pede:
- A função é
.\n - Observe que
não está definida em , logo o domínio natural da função é .\n - O que se pede: encontrar
(a derivada) para os pontos do domínio, ou seja, para .
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (sem cálculos ainda).\n
A função é uma composição: primeiro aplicamos e depois
. Para funções compostas usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz, em palavras: “derivar a função externa em função da interna e multiplicar pela derivada da função interna”. Vou aplicar isso passo a passo.
A função é uma composição: primeiro aplicamos
Passo 3
Apresentando a regra da cadeia de forma explícita e didática.\n
Se tivermos , então
Se tivermos
Aqui:
-
é a função interna (aquela que entra em ); -
é a derivada da função externa em relação à sua variável ; -
significa que avaliamos essa derivada na função interna .
Passo 4
Calcular a derivada da função interna
.\n
Uma maneira simples: escrevemos . Usando a regra do poder (derivada de
é
):
Uma maneira simples: escrevemos
Portanto
para
.
Passo 5
Lembrar (e justificar) a derivada da função externa
.\n
É uma derivada padrão: para todo ,
É uma derivada padrão: para todo
Aqui
é a variável da função externa; a fórmula significa que a inclinação da curva
em cada
vale
. Vou usar essa expressão substituindo
por
.
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia juntando as peças.\n
Temos com
e
. Pela regra da cadeia:
Temos
Agora substituímos
:
Passo 7
Fazer a simplificação algébrica passo a passo.\n
Primeiro calculamos o denominador:
Primeiro calculamos o denominador:
Então
Multiplicando por
obtemos
Note que os fatores
cancelam, desde que
, o que é coerente com o domínio.
Passo 8
Observações finais e verificação rápida.\n
- A derivada encontrada é
- Isso faz sentido também se usarmos a identidade conhecida (para entender):
quando e quando . Em ambos os casos a derivada é a mesma que obtivemos, porque a derivada de é . Isso confirma nossa resposta.\n - Lembre-se: a função não está definida em
, logo não faz sentido falar em .