Obtenha a derivada de cada uma das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{arctg}(1 / x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f definida por f(x)=\operatorname{arctg}\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr).\n
Informações dadas e o que se pede:
  • A função é f(x)=\operatorname{arctg}\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr).\n
  • Observe que \tfrac{1}{x} não está definida em x=0, logo o domínio natural da função é \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0\}.\n
  • O que se pede: encontrar f'(x) (a derivada) para os pontos do domínio, ou seja, para x\neq0.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (sem cálculos ainda).\n
A função é uma composição: primeiro aplicamos u(x)=\tfrac{1}{x} e depois g(u)=\operatorname{arctg}(u). Para funções compostas usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz, em palavras: “derivar a função externa em função da interna e multiplicar pela derivada da função interna”. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Apresentando a regra da cadeia de forma explícita e didática.\n
Se tivermos f(x)=g\bigl(u(x)\bigr), então
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui:
  • u(x) é a função interna (aquela que entra em g);
  • g'(t) é a derivada da função externa em relação à sua variável t;
  • g'\bigl(u(x)\bigr) significa que avaliamos essa derivada na função interna u(x).

Passo 4

Calcular a derivada da função interna u(x)=\tfrac{1}{x}.\n
Uma maneira simples: escrevemos u(x)=x^{-1}. Usando a regra do poder (derivada de x^{n} é n x^{n-1}):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}.
Portanto u'(x)=-\tfrac{1}{x^{2}} para x\neq0.

Passo 5

Lembrar (e justificar) a derivada da função externa g(t)=\operatorname{arctg}(t).\n
É uma derivada padrão: para todo t\in\mathbb{R},
\frac{d}{dt}\operatorname{arctg}(t)=\frac{1}{1+t^{2}}.
Aqui t é a variável da função externa; a fórmula significa que a inclinação da curva \operatorname{arctg}(t) em cada t vale \tfrac{1}{1+t^{2}}. Vou usar essa expressão substituindo t por u(x).

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia juntando as peças.\n
Temos f(x)=g\bigl(u(x)\bigr) com g'(t)=\tfrac{1}{1+t^{2}} e u'(x)=-\tfrac{1}{x^{2}}. Pela regra da cadeia:
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =\frac{1}{1+\bigl(u(x)\bigr)^{2}}\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right).
Agora substituímos u(x)=\tfrac{1}{x}:
f'(x)=\frac{1}{1+\left(\tfrac{1}{x}\right)^{2}}\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right).

Passo 7

Fazer a simplificação algébrica passo a passo.\n
Primeiro calculamos o denominador:
1+\left(\tfrac{1}{x}\right)^{2}=1+\tfrac{1}{x^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{x^{2}+1}{x^{2}}.
Então
\frac{1}{1+\left(\tfrac{1}{x}\right)^{2}}=\frac{1}{\frac{x^{2}+1}{x^{2}}=\!}\;=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}.
Multiplicando por -\tfrac{1}{x^{2}} obtemos
f'(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=-\frac{1}{x^{2}+1}.
Note que os fatores x^{2} cancelam, desde que x\neq0, o que é coerente com o domínio.

Passo 8

Observações finais e verificação rápida.\n
  • A derivada encontrada é
f'(x)=-\frac{1}{x^{2}+1}\quad\text{para }x\neq0.
  • Isso faz sentido também se usarmos a identidade conhecida (para entender): \operatorname{arctg}\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)=\tfrac{\pi}{2}-\operatorname{arctg}(x) quando x>0 e \operatorname{arctg}\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)=-\tfrac{\pi}{2}-\operatorname{arctg}(x) quando x<0. Em ambos os casos a derivada é a mesma que obtivemos, porque a derivada de -\operatorname{arctg}(x) é -\tfrac{1}{1+x^{2}}. Isso confirma nossa resposta.\n
  • Lembre-se: a função não está definida em x=0, logo não faz sentido falar em f'(0).

Resposta

\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{x^{2}+1},\quad x\neq0

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