Obtenha a derivada de cada uma das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{sen} e^{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sin\bigl(e^{x}\bigr).
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, pois temos uma função composta: uma função trigonométrica aplicada a uma exponencial.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, identificamos as duas funções envolvidas:
g(x)=e^{x} \quad\text{e}\quad h(u)=\sin(u).
Assim, f(x)=h\bigl(g(x)\bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte isoladamente:
g'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(e^{x}\bigr)=e^{x},
h'(u)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\bigl(\sin(u)\bigr)=\cos(u).

Passo 4

Pela regra da cadeia, a derivada de f(x)=h\bigl(g(x)\bigr) é
f'(x)=h'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Substituindo g(x)=e^x e as derivadas encontradas, obtemos
f'(x)=\cos\bigl(e^{x}\bigr)\,\cdot e^{x}.

Resposta

f'(x)=e^{x}\,\cos\bigl(e^{x}\bigr).

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