Obtenha a derivada de cada uma das seguintes funções:
f(x)=tg xsen x+cos x

Passo 1

Nessa questão vamos achar a derivada de uma função que é quociente de funções trigonométricas. O enunciado é: f(x)=tg x/(sen x+cos x). O conteúdo envolve derivadas de funções trigonométricas (d/dx[ tg x ]=sec²x, d/dx[ sen x ]=cos x, d/dx[ cos x ]=−sen x) e a regra do quociente.

Passo 2

Para usar a regra do quociente, definimos u(x)=tg x e v(x)=sen x+cos x. A fórmula da derivada de f(x)=u(x)/v(x) é f’(x)=(u’·v−u·v’)/v².

Passo 3

Agora calculamos as derivadas individuais: u’(x)=sec²x e v’(x)=d/dx[sen x]+d/dx[cos x]=cos x−sen x.

Passo 4

Substituindo na fórmula do quociente fica: f’(x)= [sec²x·(sen x+cos x) − tg x·(cos x−sen x)]/(sen x+cos x)².

Resposta

f'(x)=sec^2 x,(sin x+cos x)-tan x,(cos x-sin x)(sin x+cos x)^2

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