Obtenha a derivada da função:
h(x)=raiz3 x^2+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função $ h(x) = \sqrt{3x^{2} + 4} $. Estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é super útil quando temos uma função dentro da outra, como aqui onde temos uma raiz quadrada de uma expressão que envolve $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. A raiz quadrada pode ser escrita como uma potência de $ \frac{1}{2} $. Então, temos:
12

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia. Essa regra diz que, se temos uma função composta $ f(g(x)) $, a derivada é $ f’(g(x)) \cdot g’(x) $. No nosso caso, $ f(u) = u^{\frac{1}{2}} $ e $ g(x) = 3x^{2} + 4 $.

Passo 4

Primeiro, derivamos $ f(u) = u^{\frac{1}{2}} $ em relação a $ u $:
f(u) = u^12

Passo 5

Em seguida, derivamos $ g(x) = 3x^{2} + 4 $ em relação a $ x $:
g(x) = 3x^2 + 4

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia substituindo $ u $ por $ g(x) $:
u

Passo 7

Podemos simplificar essa expressão:
h'(x) = 6x2raiz3x^2 + 4 = 3xraiz3x^2 + 4

Resposta

A derivada da função $ h(x) = \sqrt{3x^{2} + 4} $ é:
h(x) = raiz3x^2 + 4

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