Obtenha a derivada das seguinte funções:
b)
b)
Passo 1
Beleza! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a derivada da função $ g(x) = (x^{3} - 3)(2x^{4} + x) $. Vamos usar o regras de derivação, especialmente a regra do produto, porque temos duas funções multiplicadas. Para isso, precisamos lembrar como derivar polinômios e aplicar a regra do produto corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
- $ f(x) = x^{3} - 3 $
- $ h(x) = 2x^{4} + x $
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de cada uma dessas funções individualmente.
Para $ f(x) = x^{3} - 3 $:
A derivada de $ x^{3} $ é $ 3x^{2} $ e a derivada de uma constante, como $ -3 $, é 0. Então,
Para $ h(x) = 2x^{4} + x $:
A derivada de $ 2x^{4} $ é $ 8x^{3} $ e a derivada de $ x $ é 1. Então,
Passo 4
Agora, aplicamos a regra do produto para encontrar a derivada de $ g(x) = f(x) \cdot h(x) $. A regra do produto diz que:
Vamos substituir as funções e suas derivadas:
Passo 5
Agora, vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
Então, o primeiro termo simplificado é $ 6x^{6} + 3x^{3} $.
Segundo termo:
Então, o segundo termo simplificado é $ 8x^{6} + x^{3} - 24x^{3} - 3 $.
Passo 6
Agora, somamos os dois termos simplificados:
Vamos combinar os termos semelhantes:
Para $ x^{6} $:
Para $ x^{3} $:
E o termo constante:
Então, a expressão simplificada fica:
Resposta
A derivada da função $ g(x) = (x^{3} - 3)(2x^{4} + x) $ é