Obtenha a derivada das seguinte funções:
b) g(x)=(x^3-3)(2 x^4+x)

Passo 1

Beleza! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a derivada da função $ g(x) = (x^{3} - 3)(2x^{4} + x) $. Vamos usar o regras de derivação, especialmente a regra do produto, porque temos duas funções multiplicadas. Para isso, precisamos lembrar como derivar polinômios e aplicar a regra do produto corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
  • $ f(x) = x^{3} - 3 $
  • $ h(x) = 2x^{4} + x $

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de cada uma dessas funções individualmente.
Para $ f(x) = x^{3} - 3 $:
A derivada de $ x^{3} $ é $ 3x^{2} $ e a derivada de uma constante, como $ -3 $, é 0. Então,
f(x) = x^3 - 3
Para $ h(x) = 2x^{4} + x $:
A derivada de $ 2x^{4} $ é $ 8x^{3} $ e a derivada de $ x $ é 1. Então,
x^3

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do produto para encontrar a derivada de $ g(x) = f(x) \cdot h(x) $. A regra do produto diz que:
g(x) = f(x) cdot h(x)
Vamos substituir as funções e suas derivadas:
g'(x) = f'(x) cdot h(x) + f(x) cdot h'(x)

Passo 5

Agora, vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
3x^2 cdot 2x^4 = 6x^6
3x^2 cdot x = 3x^3
Então, o primeiro termo simplificado é $ 6x^{6} + 3x^{3} $.
Segundo termo:
6x^6 + 3x^3
x^3 cdot 8x^3 = 8x^6
x^3 cdot 1 = x^3
-3 cdot 8x^3 = -24x^3
Então, o segundo termo simplificado é $ 8x^{6} + x^{3} - 24x^{3} - 3 $.

Passo 6

Agora, somamos os dois termos simplificados:
6x^6 + 3x^3 + 8x^6 + x^3 - 24x^3 - 3
Vamos combinar os termos semelhantes:
Para $ x^{6} $:
x^6
Para $ x^{3} $:
6x^6 + 8x^6 = 14x^6
E o termo constante:
x^3
Então, a expressão simplificada fica:
3x^3 + x^3 - 24x^3 = -20x^3

Resposta

A derivada da função $ g(x) = (x^{3} - 3)(2x^{4} + x) $ é
g(x) = (x^3 - 3)(2x^4 + x)

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