Obtenha a derivada das seguinte funções:
a) h(x)=a x+bc x+d, sendo a d-b c neq 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função $ h(x) = \frac{a x + b}{c x + d} $. A gente está falando sobre derivadas, que é um conceito fundamental no cálculo para entender como uma função muda em relação a $ x $. Para isso, vamos precisar usar a regra do quociente, que é uma técnica para derivar funções que são divisões de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que vão entrar na regra do quociente. A função $ h(x) $ é uma fração onde:
  • O numerador é $ u(x) = a x + b $
  • O denominador é $ v(x) = c x + d $

Passo 3

Agora, precisamos achar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $. Lembrando que a derivada de uma função linear $ k x + m $ é simplesmente o coeficiente de $ x $, que é $ k $.
Então:
  • A derivada de $ u(x) $ é $ u’(x) = a $
  • A derivada de $ v(x) $ é $ v’(x) = c $

Passo 4

Com essas derivadas, aplicamos a regra do quociente para encontrar a derivada de $ h(x) $. A regra do quociente diz que:
h(x)
Substituindo os valores que já temos:
h'(x) = u'(x) cdot v(x) - u(x) cdot v'(x)[v(x)]^2

Passo 5

Agora, vamos simplificar o numerador:
a (c x + d) - (a x + b) c = a c x + a d - a c x - b c
Perceba que $ a c x $ e $ -a c x $ se cancelam, restando:
a c x

Passo 6

Então, substituindo de volta na expressão da derivada:
h'(x) = a d - b c(c x + d)^2

Resposta

A derivada da função é:
h'(x) = a d - b c(c x + d)^2

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