Obtenha a derivada das seguinte funções:
a)
sendo
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função $ h(x) = \frac{a x + b}{c x + d} $. A gente está falando sobre derivadas, que é um conceito fundamental no cálculo para entender como uma função muda em relação a $ x $. Para isso, vamos precisar usar a regra do quociente, que é uma técnica para derivar funções que são divisões de outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que vão entrar na regra do quociente. A função $ h(x) $ é uma fração onde:
- O numerador é $ u(x) = a x + b $
- O denominador é $ v(x) = c x + d $
Passo 3
Agora, precisamos achar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $. Lembrando que a derivada de uma função linear $ k x + m $ é simplesmente o coeficiente de $ x $, que é $ k $.
Então:
- A derivada de $ u(x) $ é $ u’(x) = a $
- A derivada de $ v(x) $ é $ v’(x) = c $
Passo 4
Com essas derivadas, aplicamos a regra do quociente para encontrar a derivada de $ h(x) $. A regra do quociente diz que:
Substituindo os valores que já temos:
Passo 5
Agora, vamos simplificar o numerador:
Perceba que $ a c x $ e $ -a c x $ se cancelam, restando:
Passo 6
Então, substituindo de volta na expressão da derivada:
Resposta
A derivada da função é: