Obtenha a derivada das seguinte funções:
d)
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Passo 1
Vamos ver o que a questão está pedindo. Temos a função $ r(u) = \frac{1}{s + k e^{u}} $ e precisamos encontrar a sua derivada em relação a $ u $. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de diferenciação, especificamente a regra da cadeia e a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que está no denominador: $ s + k e^{u} $. Para derivar $ r(u) $, que é o inverso disso, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
Passo 3
Escrevendo a função $ r(u) $ de forma mais clara para aplicação da regra da cadeia: $ r(u) = (s + k e{u}){-1} $. Agora, vamos derivar usando a regra da cadeia.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia:
Aqui, a derivada de $ s + k e^{u} $ em relação a $ u $ é simplesmente $ k e^{u} $, já que a derivada de $ s $ (constante) é zero e a derivada de $ k e^{u} $ é $ k e^{u} $.
Passo 5
Substituindo a derivada da função interna:
Resposta
A derivada da função $ r(u) = \frac{1}{s + k e^{u}} $ é: