Obtenha a derivada das seguinte funções:
d) r(u)=1s+k e^u

Passo 1

Vamos ver o que a questão está pedindo. Temos a função $ r(u) = \frac{1}{s + k e^{u}} $ e precisamos encontrar a sua derivada em relação a $ u $. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de diferenciação, especificamente a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está no denominador: $ s + k e^{u} $. Para derivar $ r(u) $, que é o inverso disso, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 3

Escrevendo a função $ r(u) $ de forma mais clara para aplicação da regra da cadeia: $ r(u) = (s + k e{u}){-1} $. Agora, vamos derivar usando a regra da cadeia.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
drdu = -1 cdot (s + k e^u)^-2 cdot ddu(s + k e^u)
Aqui, a derivada de $ s + k e^{u} $ em relação a $ u $ é simplesmente $ k e^{u} $, já que a derivada de $ s $ (constante) é zero e a derivada de $ k e^{u} $ é $ k e^{u} $.

Passo 5

Substituindo a derivada da função interna:
drdu = -1 cdot (s + k e^u)^-2 cdot k e^u = - k e^u(s + k e^u)^2

Resposta

A derivada da função $ r(u) = \frac{1}{s + k e^{u}} $ é:
r(u) = 1s + k e^u

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