Obtenha a derivada das seguinte funções:
g) g(x)=xx+kx

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)= xx+kx. O tema é derivadas, e vamos usar a simplificação algébrica e a regra do quociente (ou derivação direta de uma função racional).

Passo 2

Primeiro, simplifico a expressão para não ficar com fração dentro de fração. Observamos que
x + kx = x^2 + kx
Logo

Passo 3

substituindo em g(x):
g(x) = xx^2 + kx = x cdot xx^2 + k = x^2x^2 + k
ficará mais fácil de derivar.

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente em g(x)=u(x)v(x) com u(x)=x^2 e v(x)=x^2 + k. A regra diz
g'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]^2
e temos u'(x)=2x e v'(x)=2x.

Passo 5

Substituindo:
g'(x) = (2x)(x^2 + k) - (x^2)(2x)(x^2 + k)^2
Agora simplificamos o numerador:

Passo 6

expandindo o numerador:
2x(x^2 + k) - 2x,x^2 = 2x^3 + 2kx - 2x^3 = 2kx
Portanto

Passo 7

a derivada fica
g'(x) = 2kx(x^2 + k)^2

Passo 8

Essa é a forma final, bem enxuta e sem fração dentro de fração.

Resposta

2kx(x^2 + k)^2

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