Obtenha a derivada das seguinte funções:
c) h(y)=(y^-2+y^-3)(y^5-2 y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a derivada da função $ h(y) = \left(y^{-2} + y{-3}\right)\left(y{5} - 2y^{2}\right) $. Isso envolve o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente a regra do produto para derivadas. Vamos precisar aplicar essa regra e lembrar como derivar funções com potências negativas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função que estão sendo multiplicadas. Vamos chamar:
  • $ f(y) = y^{-2} + y^{-3} $
  • $ g(y) = y^{5} - 2y^{2} $
A regra do produto diz que a derivada de $ h(y) $ é $ f’(y) \cdot g(y) + f(y) \cdot g’(y) $. Ou seja, a derivada de $ f $ vezes $ g $, mais $ f $ vezes a derivada de $ g $.

Passo 3

Vamos derivar $ f(y) $ e $ g(y) $ separadamente.
Para $ f(y) = y^{-2} + y^{-3} $:
  • A derivada de $ y^{n} $ é $ n \cdot y^{n-1} $.
  • Então, $ f’(y) = (-2) \cdot y^{-3} + (-3) \cdot y^{-4} = -2y^{-3} - 3y^{-4} $.
Para $ g(y) = y^{5} - 2y^{2} $:
  • Novamente, aplicando a regra da potência:
  • $ g’(y) = 5y^{4} - 4y $.

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do produto:
h'(y) = f'(y) cdot g(y) + f(y) cdot g'(y)
Substituindo os valores que encontramos:
h'(y) = (-2y^-3 - 3y^-4) cdot (y^5 - 2y^2) + (y^-2 + y^-3) cdot (5y^4 - 4y)

Passo 5

Vamos simplificar cada parte:
Primeira parte:
(-2y^-3) cdot y^5 = -2y^2
(-2y^-3) cdot (-2y^2) = 4y^-1
(-3y^-4) cdot y^5 = -3y
(-3y^-4) cdot (-2y^2) = 6y^-2
Então, a primeira parte fica:
-2y^2 + 4y^-1 - 3y + 6y^-2
Segunda parte:
y^-2 cdot 5y^4 = 5y^2
y^-2 cdot (-4y) = -4y^-1
y^-3 cdot 5y^4 = 5y
y^-3 cdot (-4y) = -4y^-2
Então, a segunda parte fica:
5y^2 - 4y^-1 + 5y - 4y^-2
Agora, somamos as duas partes:
(-2y^2 + 5y^2) + (4y^-1 - 4y^-1) + (-3y + 5y) + (6y^-2 - 4y^-2)
= 3y^2 + 2y + 2y^-2

Resposta

A derivada da função $ h(y) $ é:
h(y)

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