Obtenha a derivada das seguinte funções:
c)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a derivada da função $ h(y) = \left(y^{-2} + y{-3}\right)\left(y{5} - 2y^{2}\right) $. Isso envolve o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente a regra do produto para derivadas. Vamos precisar aplicar essa regra e lembrar como derivar funções com potências negativas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes da função que estão sendo multiplicadas. Vamos chamar:
- $ f(y) = y^{-2} + y^{-3} $
- $ g(y) = y^{5} - 2y^{2} $
A regra do produto diz que a derivada de $ h(y) $ é $ f’(y) \cdot g(y) + f(y) \cdot g’(y) $. Ou seja, a derivada de $ f $ vezes $ g $, mais $ f $ vezes a derivada de $ g $.
Passo 3
Vamos derivar $ f(y) $ e $ g(y) $ separadamente.
Para $ f(y) = y^{-2} + y^{-3} $:
- A derivada de $ y^{n} $ é $ n \cdot y^{n-1} $.
- Então, $ f’(y) = (-2) \cdot y^{-3} + (-3) \cdot y^{-4} = -2y^{-3} - 3y^{-4} $.
Para $ g(y) = y^{5} - 2y^{2} $:
- Novamente, aplicando a regra da potência:
- $ g’(y) = 5y^{4} - 4y $.
Passo 4
Agora, aplicamos a regra do produto:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar cada parte:
Primeira parte:
Então, a primeira parte fica:
Segunda parte:
Então, a segunda parte fica:
Agora, somamos as duas partes:
Resposta
A derivada da função $ h(y) $ é: