(1,5) Obtenha a derivada das seguintes funções:
(f) f(x)=\sqrt[3]{\sqrt{2 x+1}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt[3]{\sqrt{2x+1}},
que é uma composição de potenciais fracionárias. Para resolver, vamos usar a regra da cadeia combinada com a regra da derivada de uma potência.

Passo 2

Reescrevendo a função como única potência, temos
f(x)=\bigl(\sqrt{2x+1}\bigr)^{1/3} =\bigl((2x+1)^{1/2}\bigr)^{1/3} =(2x+1)^{1/6}.

Passo 3

Aplicamos a regra da potência para funções compostas: se
f(x)=u(x)^n,
então
f'(x)=n\,u(x)^{\,n-1}\,u'(x).
Aqui u(x)=2x+1 e n=1/6, logo u'(x)=2.

Passo 4

Substituindo na fórmula:
f'(x) =\frac{1}{6}\,(2x+1)^{\frac{1}{6}-1}\cdot2 =\frac{2}{6}\,(2x+1)^{-\frac{5}{6}} =\frac{1}{3}\,(2x+1)^{-\frac{5}{6}}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{3}\,(2x+1)^{-\frac{5}{6}}.

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