(1,5) Obtenha a derivada das seguintes funções:
(f) f(x)=\sqrt[3]{\sqrt{2 x+1}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\sqrt[3]{\sqrt{2x+1}}.
Aqui vamos usar derivação de função composta (regra da cadeia) e simplificar expoentes de potências.

Passo 2

Primeiro observe que
\sqrt{2x+1} = (2x+1)^{\frac12}
e
\sqrt[3]{\;u\;} = u^{\frac13}.
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f(x) = \bigl((2x+1)^{\frac12}\bigr)^{\frac13} = (2x+1)^{\frac12\cdot\frac13} = (2x+1)^{\frac16}.

Passo 3

Para f(x)=(2x+1)^{\frac16}, aplique a regra da cadeia. Seja u=2x+1, então
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(u^{\frac16}\bigr) = \frac{1}{6}\,u^{\frac16-1}\,\frac{du}{dx} = \frac{1}{6}(2x+1)^{-\frac{5}{6}}\cdot 2.
Simplificando o fator numérico, obtemos
f'(x) = \frac{2}{6}(2x+1)^{-\frac{5}{6}} = \frac{1}{3}(2x+1)^{-\frac{5}{6}}.

Resposta

f'(x) = \frac{1}{3}(2x+1)^{-\frac{5}{6}}.

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