(a) (1,0) Escontre y derivado implicitamente na equação x^{2}+y^{2}=3.
(b) (0,5) Determine o valor de y^{\prime} no ponto \left(\frac{\pi^{2}}{4}, \frac{\pi}{2}\right).
(c) (0,5) Determine a reta tangente à curva citada no item (a) no ponto citado no item (b).

Passo 1

O enunciado envolve a curva implícita
x^{2}+y^{2}=3
e pede três coisas: (a) achar y' por diferenciação implícita, (b) avaliar y' no ponto \bigl(\tfrac{\pi^{2}}{4},\tfrac{\pi}{2}\bigr) e (c) encontrar a reta tangente à curva nesse ponto. Vamos usar as regras de derivação de soma e cadeia para resolver.

Passo 2

Derivando ambos os lados de
x^{2}+y^{2}=3
em relação a x, temos
2x + 2y\,\frac{dy}{dx} = 0.
Isolando \displaystyle \frac{dy}{dx}, obtemos
y' = \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.

Passo 3

Agora avaliaremos
y' = -\frac{x}{y}
no ponto \bigl(x_{0},y_{0}\bigr)=\bigl(\tfrac{\pi^{2}}{4},\tfrac{\pi}{2}\bigr). Substituindo,
y'\bigl(\tfrac{\pi^{2}}{4},\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -\frac{\tfrac{\pi^{2}}{4}}{\tfrac{\pi}{2}} = -\frac{\pi^{2}}{4}\cdot\frac{2}{\pi} = -\frac{\pi}{2}.

Passo 4

Para achar a reta tangente usamos a forma ponto-inclinação:
y - y_{0} = m\,(x - x_{0}),
onde m = y'\bigl(x_{0},y_{0}\bigr) = -\tfrac{\pi}{2} e \bigl(x_{0},y_{0}\bigr)=\bigl(\tfrac{\pi^{2}}{4},\tfrac{\pi}{2}\bigr). Assim,
y - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}\Bigl(x - \frac{\pi^{2}}{4}\Bigr).

Resposta

(a) y' = -\dfrac{x}{y}.
(b) y'\bigl(\tfrac{\pi^{2}}{4},\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -\dfrac{\pi}{2}.
(c) y - \dfrac{\pi}{2} = -\dfrac{\pi}{2}\!\bigl(x - \tfrac{\pi^{2}}{4}\bigr).

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