Obtenha a derivada das seguintes funções: p) f(x)=e^x+e^-xe^x-e^-x

Passo 1

Temos a função f(x)=e^x+e^-xe^x-e^-x. O conteúdo envolve derivada de quociente, e vamos precisar da derivada de exponenciais ( d/dx,e^x=e^x e d/dx,e^-x=-e^-x) junto com a regra do quociente.

Passo 2

Identificamos o numerador e o denominador: N(x)=e^x+e^-x e D(x)=e^x-e^-x. Assim, suas derivadas são
N'(x)=e^x - e^-x e D'(x)=e^x + e^-x.

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x)=N'(x),D(x)-N(x),D'(x)[D(x)]^2
Substituindo N, N', D, D':
f'(x)=(e^x - e^-x)(e^x - e^-x) - (e^x + e^-x)(e^x + e^-x)(e^x - e^-x)^2

Passo 4

Agora simplificamos o numerador usando identidade de diferença de quadrados:
(e^x - e^-x)^2 - (e^x + e^-x)^2 = -4e^x e^-x = -4
Logo,
f'(x)=-4(e^x - e^-x)^2

Passo 5

Para deixar em forma de funções hiperbólicas, note que e^x - e^-x=2sinh(x). Então
(e^x - e^-x)^2 =4sinh^2(x)
e consequentemente
f'(x)=-44sinh^2(x)=-1sinh^2(x)=-csch^2(x)

Resposta

-dfrac1sinh^2(x) (ou -csch^2(x))

Exercícios relacionados