Obtenha a derivada das seguintes funções: v) f(x)=raizln xe^x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de f(x)=√(ln x / eˣ). O conteúdo envolve regras de derivação: regra da cadeia, derivada de potência, derivada do ln x e derivada do quociente com eˣ.

Passo 2

Vamos reescrever f(x) de modo mais explícito para aplicar a regra da cadeia: define u(x)= (ln x)/(eˣ), de modo que f(x)=u(x)^(1/2).

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia: f’(x)= (1/2)·u(x)^(-1/2)·u’(x). Em notação:
f'(x)=12,u(x)^-1/2,u'(x)

Passo 4

Agora calculamos u’(x). Como u(x)=v(x)/w(x) com v(x)=ln x e w(x)=eˣ, usamos a regra do quociente:
u'(x)=v'(x)·w(x)-v(x)·w'(x)[w(x)]^2
Temos v’(x)=1/x e w’(x)=eˣ, logo
u'(x)=(1/x)·eˣ - (ln x)·eˣe^2x=eˣe^2xl(1x - ln xr)=1/x - ln xe^xˣˣˣ

Passo 5

Substituindo u(x) e u’(x) em f’(x):
f'(x)=12,1/x - ln xe^x,u(x)^-1/2
Lembrando que u(x)^{1/2}=√(ln x/eˣ), temos u(x)^{-1/2}=1/√(ln x/eˣ).

Passo 6

Fazendo a simplificação final:
Denominador: eˣ·√(ln x/eˣ)=eˣ·(√{ln x}/e{x/2})=e{x/2}√{ln x}.
Portanto
f'(x)=1/x - ln x2,e^x/2,raizln x
Multiplicando numerador e denominador por x para deixar mais compacto:
f'(x)=1 - xln x2x,e^x/2,raizln x

Resposta

f'(x)=1 - xln x2x,e^x/2,raizln x

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