Obtenha a derivada das seguintes funções: v)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada de f(x)=√(ln x / eˣ). O conteúdo envolve regras de derivação: regra da cadeia, derivada de potência, derivada do ln x e derivada do quociente com eˣ.
Passo 2
Vamos reescrever f(x) de modo mais explícito para aplicar a regra da cadeia: define u(x)= (ln x)/(eˣ), de modo que f(x)=u(x)^(1/2).
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia: f’(x)= (1/2)·u(x)^(-1/2)·u’(x). Em notação:
Passo 4
Agora calculamos u’(x). Como u(x)=v(x)/w(x) com v(x)=ln x e w(x)=eˣ, usamos a regra do quociente:
Temos v’(x)=1/x e w’(x)=eˣ, logo
Passo 5
Substituindo u(x) e u’(x) em f’(x):
Lembrando que u(x)^{1/2}=√(ln x/eˣ), temos u(x)^{-1/2}=1/√(ln x/eˣ).
Passo 6
Fazendo a simplificação final:
Denominador: eˣ·√(ln x/eˣ)=eˣ·(√{ln x}/e{x/2})=e{x/2}√{ln x}.
Portanto
Denominador: eˣ·√(ln x/eˣ)=eˣ·(√{ln x}/e{x/2})=e{x/2}√{ln x}.
Portanto
Multiplicando numerador e denominador por x para deixar mais compacto: