Encontre um contra exemplo para cada uma das seguintes afirmações, justificando sua resposta. Aqui
é um intervalo de
.
Se
é tal que
tem um ponto de máximo ou de mínimo local em
e
é derivável em
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a conclusão “se
tem extremo local em
e é derivável em
então
” deixa de valer caso
não seja ponto interno de
, e também para ver que a recíproca “se
então há extremo local em
” é falsa. Para isso vamos dar dois contra-exemplos: um em que há extremo local em extremidade e
, e outro em que
mas não há extremo.
Passo 2
Considere
Em
temos um mínimo local (na verdade global), pois para todo
vale
. Além disso o limite
existe e é
. Logo existe extremo local em
e
é derivável em
, mas
.
Passo 3
Considere
Temos
então em
vale
. Por outro lado, para
temos
e para
temos
, isto é,
não é nem máximo nem mínimo local de
.
Resposta
a) Tomando
em
e
,
tem mínimo local e é derivável em
, mas
.
b) Tomando em
e
,
porém
não é ponto de extremo local de
.
b) Tomando