Encontre um contra exemplo para cada uma das seguintes afirmações, justificando sua resposta. Aqui I é um intervalo de R.
Se f: I R é tal que f tem um ponto de máximo ou de mínimo local em a in I e f é derivável em a, então f^prime(a)=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a conclusão “se f tem extremo local em a e é derivável em a então f'(a)=0” deixa de valer caso a não seja ponto interno de I, e também para ver que a recíproca “se f'(a)=0 então há extremo local em a” é falsa. Para isso vamos dar dois contra-exemplos: um em que há extremo local em extremidade e f'(a)neq0, e outro em que f'(a)=0 mas não há extremo.

Passo 2

Considere
fcolon [0,1]toR, f(x)=x
Em a=0 temos um mínimo local (na verdade global), pois para todo xin[0,1] vale f(x)=x>=0=f(0). Além disso o limite
f'(0)=limxto0f(x)-f(0)x-0 =limxto0x-0x =1
existe e é 1neq0. Logo existe extremo local em a=0 e f é derivável em 0, mas f'(0)neq0.

Passo 3

Considere
gcolon RtoR, g(x)=x^3
Temos
g'(x)=3x^2,
então em a=0 vale g'(0)=0. Por outro lado, para x<0 temos g(x)<0 e para x>0 temos g(x)>0, isto é, x=0 não é nem máximo nem mínimo local de g.

Resposta

a) Tomando f(x)=x em [0,1] e a=0, f tem mínimo local e é derivável em 0, mas f'(0)=1neq0.
b) Tomando g(x)=x^3 em R e a=0, g'(0)=0 porém 0 não é ponto de extremo local de g.

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