Obtenha o desenvolvimento em série de cossenos para a função
f(x)= \begin{cases}1, & \text { se } 0<x<1 \\ 0, & \text { se } 1<x<2\end{cases}

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o problema pede e quais informações temos.
  • A função é dada por
f(x)= \begin{cases}1, & \text{se }0<x<1,\\[4pt] 0, & \text{se }1<x<2.\end{cases}
  • O enunciado pede: “Obtenha o desenvolvimento em série de cossenos para a função” — ou seja, a expansão em série de Fourier em cossenos (série de cossenos) no intervalo (0,2).
  • Informações relevantes que o enunciado dá:
    • O intervalo onde a série deve ser construída é (0,2).
    • A função é peça‑por‑peça: vale \,1 em (0,1) e \,0 em (1,2).
  • Não há mais dados (por exemplo valores nos pontos 0,1,2), mas a série de cossenos é a expansão por funções \cos\!\big(\tfrac{n\pi x}{2}\big) em [0,2] (metade de um prolongamento par periódico).]

Passo 2

Explico o que é a série de cossenos (sem mistério) e escrevo a fórmula que vou usar.
  • A série de cossenos (meio‑intervalo, extensão par) para uma função f em 0<x< L tem a forma
f(x)\sim \frac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} A_n\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),
onde os coeficientes são
A_0=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(t)\,dt,\qquad A_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(t)\cos\!\left(\frac{n\pi t}{L}\right)\,dt\quad(n\ge1).
  • No nosso caso L=2. Substituindo L=2 as fórmulas ficam mais simples:
A_0=\int_{0}^{2} f(t)\,dt, \qquad A_n=\int_{0}^{2} f(t)\cos\!\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\,dt\quad(n\ge1).
  • Explicando pedagogicamente: A_0/2 é a média (no sentido da série) da função no intervalo; cada A_n mede quanto o modo \cos\!\big(\tfrac{n\pi x}{2}\big) “participa” da função — calculamos isso com o produto escalar \int f\cdot\cos.

Passo 3

Calculo A_0 (o termo constante).
  • Pela definição e usando que f(t)=1 em (0,1) e 0 em (1,2):
A_0=\int_{0}^{2} f(t)\,dt=\int_{0}^{1} 1\,dt+\int_{1}^{2}0\,dt=1.
  • Logo o termo constante na série será \dfrac{A_0}{2}=\dfrac{1}{2}.

Passo 4

Calculo A_n para n\ge1.
  • Pela definição e pela peça da função:
A_n=\int_{0}^{2} f(t)\cos\!\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\,dt =\int_{0}^{1} \cos\!\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\,dt,
pois f(t)=0 quando 1<t<2.
  • Calculo a integral. Uma primitiva de \cos\!\big(\tfrac{n\pi t}{2}\big) é \dfrac{2}{n\pi}\sin\!\big(\tfrac{n\pi t}{2}\big). Portanto
A_n=\left[\frac{2}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\right]_{t=0}^{t=1} =\frac{2}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)-\frac{2}{n\pi}\sin(0).
  • Como \sin(0)=0, obtemos
A_n=\frac{2}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right),\qquad n\ge1.

Passo 5

Interpreto e simplifico o fator \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big).
  • A função \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big) depende apenas de n módulo 4. Os valores são:
    • Para n=4m: \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=\sin(2m\pi)=0.
    • Para n=4m+1: \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=\sin\!\big(2m\pi+\tfrac{\pi}{2}\big)=1.
    • Para n=4m+2: \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=\sin\!\big(2m\pi+\pi\big)=0.
    • Para n=4m+3: \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=\sin\!\big(2m\pi+\tfrac{3\pi}{2}\big)=-1.
  • Conclusão prática: os coeficientes A_n são zero quando n é par. Só os n ímpares n=2k+1 contribuem.
  • Para n=2k+1 com k=0,1,2,\dots temos
\sin\!\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k,
portanto
A_{2k+1}=\frac{2}{(2k+1)\pi}(-1)^k.

Passo 6

Escrevo a série completa, substituindo os coeficientes encontrados.
  • A série de cossenos é
f(x)\sim \frac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} A_n\cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right).
  • Substituindo A_0=\;1 e A_n=\dfrac{2}{n\pi}\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)
f(x)\sim \frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right).
  • Eliminando os termos nulos e escrevendo só com índices k (índices ímpares) fica mais claro:
f(x)\sim \frac{1}{2}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2(-1)^k}{(2k+1)\pi}\cos\!\left(\frac{(2k+1)\pi x}{2}\right).

Passo 7

Comentário sobre convergência (útil para a prova).
  • Para 0<x<1 a função é contínua e a série converge para f(x)=1.
  • Para 1<x<2 a série converge para f(x)=0.
  • No ponto de descontinuidade x=1 (e possivelmente nas extremidades x=0,2 se quiser avaliar), a série converge para a média dos limites laterais, isto é \dfrac{1+0}{2}=\dfrac{1}{2}.
  • Observação intuitiva: essa série é a expansão por cossenos (prolongamento par) e gera uma função periódica de período 4 cujo trecho em (0,2) coincide (em média/valores) com f.

Resposta

f(x)=\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)
\text{ou, escrevendo apenas os termos não nulos:}\qquad f(x)=\frac{1}{2}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2(-1)^k}{(2k+1)\pi}\cos\!\left(\frac{(2k+1)\pi x}{2}\right).ã

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