Obtenha o desenvolvimento em série de cossenos para a função
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o problema pede e quais informações temos.
- A função é dada por
- O enunciado pede: “Obtenha o desenvolvimento em série de cossenos para a função” — ou seja, a expansão em série de Fourier em cossenos (série de cossenos) no intervalo
. - Informações relevantes que o enunciado dá:
- O intervalo onde a série deve ser construída é
. - A função é peça‑por‑peça: vale
em e em .
- O intervalo onde a série deve ser construída é
- Não há mais dados (por exemplo valores nos pontos
), mas a série de cossenos é a expansão por funções em (metade de um prolongamento par periódico).]
Passo 2
Explico o que é a série de cossenos (sem mistério) e escrevo a fórmula que vou usar.
- A série de cossenos (meio‑intervalo, extensão par) para uma função
em tem a forma
onde os coeficientes são
- No nosso caso
. Substituindo as fórmulas ficam mais simples:
- Explicando pedagogicamente:
é a média (no sentido da série) da função no intervalo; cada mede quanto o modo “participa” da função — calculamos isso com o produto escalar .
Passo 3
Calculo
(o termo constante).
- Pela definição e usando que
em e em :
- Logo o termo constante na série será
.
Passo 4
Calculo
para
.
- Pela definição e pela peça da função:
pois
quando
.
- Calculo a integral. Uma primitiva de
é . Portanto
- Como
, obtemos
Passo 5
Interpreto e simplifico o fator
.
- A função
depende apenas de módulo . Os valores são: - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
- Para
- Conclusão prática: os coeficientes
são zero quando é par. Só os ímpares contribuem. - Para
com temos
portanto
Passo 6
Escrevo a série completa, substituindo os coeficientes encontrados.
- A série de cossenos é
- Substituindo
e dá
- Eliminando os termos nulos e escrevendo só com índices
(índices ímpares) fica mais claro:
Passo 7
Comentário sobre convergência (útil para a prova).
- Para
a função é contínua e a série converge para . - Para
a série converge para . - No ponto de descontinuidade
(e possivelmente nas extremidades se quiser avaliar), a série converge para a média dos limites laterais, isto é . - Observação intuitiva: essa série é a expansão por cossenos (prolongamento par) e gera uma função periódica de período
cujo trecho em coincide (em média/valores) com .