Obtenha o desenvolvimento em série de senos para a função
f(x)= \begin{cases}x, & \text { se } 0<x \leq 1 \\ 1, & \text { se } 1 \leq x<2\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede o desenvolvimento em série de senos da função definida em (0,2)\) por \[f(x)= \begin{cases}x, & \text{se }0<x\le 1,\\[4pt] 1, & \text{se }1\le x<2.\end{cases}
Informações relevantes que temos:
  • O intervalo de interesse é (0,2)\]. - Queremos uma série composta apenas por funções \(\sin, isto é uma série do tipo
\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right),
pois o período básico para \sin\big(\tfrac{n\pi x}{2}\big) corresponde ao comprimento L=2.
  • Para obter os coeficientes b_n precisamos integrar f(x) multiplicada por \sin\big(\tfrac{n\pi x}{2}\big) em [0,2].
    A resolução começa a partir daí.]

Passo 2

Breve explicação prática do método (sem jargão complicado): quando expandimos uma função em série de senos no intervalo (0,L) usamos as funções \sin\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big) como “peças” que são ortogonais entre si. A fórmula prática para os coeficientes é
b_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Aqui L=2, então a fórmula fica simples:
b_n = \int_{0}^{2} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx.
Explico: o fator \frac{2}{L} vem da normalização da base das funções seno; \;n\in\mathbb{N}\; é o índice da série; e a integral projeta f sobre cada seno, dando o peso b_n.

Passo 3

Vamos escrever explicitamente a integral usando a definição de f(x). Como f é diferente em (0,1] e [1,2), separamos a integral em duas:
b_n = \int_{0}^{1} x\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx \;+\; \int_{1}^{2} 1\cdot\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx.
Denotamos
I_1=\int_{0}^{1} x\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx, \qquad I_2=\int_{1}^{2}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx,
de modo que b_n=I_1+I_2. Vamos calcular I_1 e I_2 passo a passo.

Passo 4

Cálculo de I_1 por integração por partes. Definimos
a=\frac{n\pi}{2},
para simplificar a escrita. Então I_1=\int_{0}^{1} x\sin(ax)\,dx.
Usamos integração por partes com u=x e dv=\sin(ax)\,dx. Assim du=dx e v=-\dfrac{\cos(ax)}{a}. Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
I_1 = \left.-\frac{x\cos(ax)}{a}\right|_{0}^{1} + \int_{0}^{1}\frac{\cos(ax)}{a}\,dx.
Avaliaremos termos separadamente. O primeiro termo dá
\left.-\frac{x\cos(ax)}{a}\right|_{0}^{1} = -\frac{1\cdot\cos(a)}{a} - \left(0\right) = -\frac{\cos(a)}{a}.
O segundo termo é \dfrac{1}{a}\int_{0}^{1}\cos(ax)\,dx. Integrando \cos(ax):
\int_{0}^{1}\cos(ax)\,dx=\left.\frac{\sin(ax)}{a}\right|_{0}^{1}=\frac{\sin(a)}{a}-0=\frac{\sin(a)}{a}.
Portanto
I_1 = -\frac{\cos(a)}{a} + \frac{1}{a}\cdot\frac{\sin(a)}{a} = -\frac{\cos(a)}{a} + \frac{\sin(a)}{a^2}.

Passo 5

Cálculo de I_2. Temos
I_2=\int_{1}^{2}\sin(ax)\,dx=\left.-\frac{\cos(ax)}{a}\right|_{1}^{2} = -\frac{\cos(2a)}{a} + \frac{\cos(a)}{a}.
Agora somamos I_1 e I_2.

Passo 6

Somando I_1 e I_2:
b_n = I_1+I_2 = \left(-\frac{\cos(a)}{a} + \frac{\sin(a)}{a^2}\right) + \left(-\frac{\cos(2a)}{a} + \frac{\cos(a)}{a}\right).
Observe que os termos -\dfrac{\cos(a)}{a} e +\dfrac{\cos(a)}{a} se cancelam, restando
b_n = \frac{\sin(a)}{a^2} - \frac{\cos(2a)}{a}.
Agora substituímos a=\dfrac{n\pi}{2}. Assim
b_n = \frac{\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}{\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)^{2}} - \frac{\cos\!\left(n\pi\right)}{\dfrac{n\pi}{2}}.

Passo 7

Simplificamos as potências e os valores trigonométricos conhecidos. Primeiro reescrevendo os denominadores:
\frac{1}{\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)^{2}}=\frac{4}{n^{2}\pi^{2}}, \qquad \frac{1}{\dfrac{n\pi}{2}}=\frac{2}{n\pi}.
Além disso \cos(n\pi)=(-1)^n. Portanto
b_n = \frac{4\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}{n^{2}\pi^{2}} - \frac{(-1)^n\;2}{n\pi}.
É conveniente reescrever o segundo termo com sinal mais claro:
b_n = \frac{4\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}{n^{2}\pi^{2}} + \frac{2(-1)^{n+1}}{n\pi}.

Passo 8

Podemos apresentar b_n em forma mais explícita separando n par e n ímpar, usando que \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right) segue o padrão \{1,0,-1,0,1,0,\dots\}:
  • Para n=2k (par): \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)=\sin(k\pi)=0 e (-1)^{n+1}=(-1)^{2k+1}=-1. Logo
b_{2k} = 0 + \frac{2(-1)^{2k+1}}{2k\pi} = \frac{2(-1)}{2k\pi} = -\frac{1}{k\pi}.
  • Para n=2k+1 (ímpar): \sin\!\left(\dfrac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k e (-1)^{n+1}=(-1)^{2k+2}=1. Logo
b_{2k+1} = \frac{4(-1)^k}{(2k+1)^2\pi^{2}} + \frac{2}{(2k+1)\pi}.

Passo 9

Montamos finalmente a série de senos. A função f(x) em (0,2) admite a expansão
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right),
com b_n dado por uma das formas que obtivemos. Em termos práticos, pode-se usar a fórmula geral
b_n = \frac{4\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}{n^{2}\pi^{2}} + \frac{2(-1)^{n+1}}{n\pi},
ou as fórmulas separadas para n par e n ímpar do Passo 8 quando se quiser escrever os coeficientes explicitamente.

Resposta

f(x)\sim \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)
b_n=\dfrac{4\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}{n^{2}\pi^{2}}+\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n\pi}
b_{2k}=-\dfrac{1}{k\pi}
b_{2k+1}=\dfrac{4(-1)^k}{(2k+1)^2\pi^{2}}+\dfrac{2}{(2k+1)\pi}

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