Obtenha o desenvolvimento em série de senos para a função
f(x)= \begin{cases}x, & \text { se } 0<x \leq 1 \\ 1, & \text { se } 1 \leq x<2\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede o desenvolvimento em série de senos da função definida em (0,2)\) por
\[f(x)= \begin{cases}x, & \text{se }0<x\le 1,\\[4pt] 1, & \text{se }1\le x<2.\end{cases}
Informações relevantes que temos:
O intervalo de interesse é (0,2)\].
- Queremos uma série composta apenas por funções \(\sin, isto é uma série do tipo
pois o período básico para \sin\big(\tfrac{n\pi x}{2}\big) corresponde ao comprimento L=2.
Para obter os coeficientes b_n precisamos integrar f(x) multiplicada por \sin\big(\tfrac{n\pi x}{2}\big) em [0,2].
A resolução começa a partir daí.]
Passo 2
Breve explicação prática do método (sem jargão complicado): quando expandimos uma função em série de senos no intervalo (0,L) usamos as funções \sin\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big) como “peças” que são ortogonais entre si. A fórmula prática para os coeficientes é
Explico: o fator \frac{2}{L} vem da normalização da base das funções seno; \;n\in\mathbb{N}\; é o índice da série; e a integral projeta f sobre cada seno, dando o peso b_n.
Passo 3
Vamos escrever explicitamente a integral usando a definição de f(x). Como f é diferente em (0,1] e [1,2), separamos a integral em duas:
de modo que b_n=I_1+I_2. Vamos calcular I_1 e I_2 passo a passo.
Passo 4
Cálculo de I_1 por integração por partes. Definimos
a=\frac{n\pi}{2},
para simplificar a escrita. Então I_1=\int_{0}^{1} x\sin(ax)\,dx.
Usamos integração por partes com u=x e dv=\sin(ax)\,dx. Assim du=dx e v=-\dfrac{\cos(ax)}{a}. Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
Podemos apresentar b_n em forma mais explícita separando n par e n ímpar, usando que \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right) segue o padrão \{1,0,-1,0,1,0,\dots\}:
Para n=2k (par): \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)=\sin(k\pi)=0 e (-1)^{n+1}=(-1)^{2k+1}=-1. Logo