Many impressive looking limits can be evaluated easily (especially by the person who makes them up), because they are really lower or upper sums in disguise. With this remark as hint, evaluate each of the following. (Warning: the list contains one red herring which can be evaluated by elementary considerations.)
(iv) \(\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+\cdots+\frac{1}{(2 n)^{2}}\right)).

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+\cdots+\frac{1}{(2 n)^{2}}\right).
Informações dadas e observações imediatas:
  • A soma tem n+1 termos (do k=n até k=2n inclusive).
  • Cada termo é positivo: \dfrac{1}{k^{2}}>0 para todo k\ge n.
  • Queremos o comportamento dessa soma quando n cresce sem limite.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicada passo a passo): vamos comparar a soma com integrais da função contínua e decrescente
f(x)=\frac{1}{x^{2}}, \qquad x>0.
Vou usar uma ferramenta simples e muito útil: para uma função positiva e decrescente f vale, para inteiro k,
\int_{k}^{k+1} f(x)\,dx \le f(k) \le \int_{k-1}^{k} f(x)\,dx.
Antes de aplicar, explico por que essa desigualdade é verdadeira (para você saber usar na prova): como f é decrescente, em cada intervalo [k,k+1] o valor máximo de f é f(k) e o mínimo é f(k+1). Assim a área do retângulo de base 1 e altura f(k) é maior que a área sob a curva em [k,k+1], e a área do retângulo de base 1 e altura f(k+1) é menor que essa área. Isso fornece as desigualdades
\int_{k}^{k+1} f(x)\,dx \le f(k) \le \int_{k-1}^{k} f(x)\,dx.

Passo 3

Aplicando a desigualdade termo a termo à soma \displaystyle S_n=\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k^{2}}. Somando as desigualdades do Passo 2 para k=n,n+1,\dots,2n obtemos
\sum_{k=n}^{2n}\int_{k}^{k+1} f(x)\,dx \le \sum_{k=n}^{2n} f(k) \le \sum_{k=n}^{2n}\int_{k-1}^{k} f(x)\,dx.
As somas de integrais se juntam em uma integral única nos intervalos correspondentes. Portanto
\int_{n}^{2n+1}\frac{1}{x^{2}}\,dx \le S_n \le \int_{n-1}^{2n}\frac{1}{x^{2}}\,dx.

Passo 4

Calculo explícito das integrais. A primitiva de f(x)=1/x^{2} é -1/x. Então
\int_{n}^{2n+1}\frac{1}{x^{2}}\,dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{n}^{2n+1} = -\frac{1}{2n+1} + \frac{1}{n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n+1},
e
\int_{n-1}^{2n}\frac{1}{x^{2}}\,dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{n-1}^{2n} = -\frac{1}{2n} + \frac{1}{n-1} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{2n}.
Assim temos as desigualdades numéricas
\frac{1}{n} - \frac{1}{2n+1} \le S_n \le \frac{1}{n-1} - \frac{1}{2n}.

Passo 5

Análise do limite usando a desigualdade (teorema do sanduíche / squeeze). Observe que quando n\to\infty,
\frac{1}{n}\to 0,\qquad \frac{1}{2n+1}\to 0,\qquad \frac{1}{n-1}\to 0,\qquad \frac{1}{2n}\to 0.
Logo os limites das duas bordas são 0:
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{2n+1}\right)=0, \qquad \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{2n}\right)=0.
Pelo teorema do sanduíche, como S_n está preso entre quantias que tendem a 0, segue que
\lim_{n\to\infty} S_n = 0.

Resposta

0

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