Obtenha o desenvolvimento em série de Fourier das funções:
(b) f(x)=(sen x)^+=cllsen x, & se & sen x >= 0 0, & se & sen x<0

Passo 1

O enunciado define a função periódica de período
ou seja no intervalo fundamental , e .

Passo 2

Cálculo de a0:
a0=1piintegral0^2pif(x),dx =1piintegral0^pisin x,dx =1pil[-cos xr]0^pi =1pi(2) =2pi

Passo 3

Cálculo de an para n>=1:
an =1piintegral0^2pif(x)cos(nx),dx =1piintegral0^pisin xcos(nx),dx
Usando a identidade
sin xcos(nx)=tfrac12l[sin((n+1)x)+sin((1-n)x)r]
e integrando, obtém-se
integral0^pisin xcos(nx),dx =-1-(-1)^,n+1n^2-1
Logo
an =-1pi,1-(-1)^,n+1n^2-1
Note que 1-(-1)^n+1=0 se n for ímpar, e vale 2 se n=2m. Portanto
a2m=-2pi,(4m^2-1), a2m-1=0

Passo 4

Cálculo de bn para n>=1:
bn =1piintegral0^2pif(x)sin(nx),dx =1piintegral0^pisin xsin(nx),dx
Para n=1 temos
integral0^pisin^2x,dx=pi/2, então b1=1/2.
Para n>=2, usando identidade de produto de senos, as integrais se anulam e bn=0.

Passo 5

Reunindo tudo na forma padrão
f(x) =a02+sumn=1^inftyl(ancos(nx)+bnsin(nx)r),
temos
a02=1pi, b1=12, bn>=2=0, a2m=-2pi(4m^2-1), a2m-1=0

Resposta

boxed f(x) =1pi +12,sin x -2pisumm=1^inftycos(2m x)4m^2-1

Exercícios relacionados